OC \ 3C 1 3C \ OC

lang .r + - lane — h 7 lang -7 •+ . . . H lang — =r — cot 2 col 2 x .

Si l'on fait croitre n indéfiniment, cot — égal à peut être remplacé par — : le

premier terme du second membre a donc pour limite -5 et l'on a

2Cot 2.r =: tang A- H — tang — h j tang^ +. . -+-— tang — 4- ■ ■ ■■,

ce qui est précisément la formule annoncée.

225. La somme d'une série s'obtient quelquefois en décomposant chaque terme de manière à transformer la série proposée en d'autres plus simples et dont les sommes sont connues.

C'est de cette manière que Jacques Bernoulli a démontré les formules suivantes, déduites ingénieusement par Leibnitz de la théorie de l'intérêt composé, et qui sont des cas particuliers d'une formule beaucoup plus générale et fort importante que nous aurons à étudier plus tard. On a, quel que soit le nombre x positif ou négatif, mais en valeur absolue inférieur à l'unité.

[i-xy . • • ■ . ^

l.a première de ces séries est bien connue. Considérons la seconde et posons

Si l'on fait

D= x'-h..., on a évidemment

c'est-à-dire

De même, si l'on pose

et que l'on fasse

A = i-+-2.r-f-3a?»+4-*''-f-- • .■+-{n-\-i)x"-\-. . . , B= x -h f- x' -h i x'-\- ..-|-nx" + .. ,

on aura évidemment

•'('st-à-dire

(i — xf (i — x)

Nous ne pousserons pas plus loin ces indications relatives à des théorèmes qui doivent être obtenus plus loin sous une forme beaucoup plus générale; bornons-nous à inscrire ici, comme facile à démontrer par un procédé tout semblable, la formule

(liins laquelle n est un nombre entier quelconque, et a? un nombre positif ou né- }j[atif moindre en valeur absolue que l'unité.

226. La même méthode peut s'appliquer à la sommation de la série suivante :

Si l'on pose

A = I + x,+ ar'4- J7' + . . . ,

on a évidemment

S=. \-f-BH-C+C-|-l)+.. . = 1 1 — +. . .= '-

mais le numérateur

peut s'écrire de la manière suivante :

i+a; + ar'-l-.r'-|-. . .+ 2(jc4-2.r2-1-3.r'-|-. . .)= H

et l'on conclut enfin

■xf

(x—xy

227. Le nombre de séries que l'on peut sommer ou de développements que l'on peut découvrir par des procédés analogues à celui que l'on vient d'indiquer est extrêmement considérable; l'énumération, si nous la faisions ici, en serait peu utile et nous écarterait d'ailleurs complètement de notre sujet ; nous laisserons donc de côté ces premiers exemples destinés à montrer toutd'abord avec quelle facilité des expressions très-diverses peuvent être développées en séries, pour nous occuper des règles de convergence et de quelques principes généraux relatifs au calcul des séries.

Nécessité de la convergence des séries dont on fait usage.

228. Les géomètres du xvm* siècle attachaient peu d'importance à la convergence des séries. Les plus illustres d'entre eux ont employé des séries divergentes et paraissent s'être fait illusion sur le peu de rigueur des raisonnements où elles interviennent. On trouve cependant dans les œuvres de Jacques Bernoulli un exemple très-remarquable du danger qu'elles présentent, et c'est même à cause de l'absurdité d'un résultat, qu'il affirme la divergence de la série dont il s'est servi pour l'obtenir. Nous rapporterons cette démonstration, qui fournit un des

arguiuenls les plus simples et les plus concluants que l'on puisse présenter sur celte question qui, d'ailleurs, n'est plus douteuse aujourd'hui pour personne. Considérons la série

il désignons-la par S; nous aurons

OU, ce qui revient au même,

posons

2 6 12 n{n-hi)

III I

12 20 rt ( n 4- 1 )

on aura évidemment

S = A4-B-+-C + D-f-...; d'un autre côté, on a (221)

; . et ainsi de suite indéfiniment; on a donc

a III

' et en comparant cette valeur avec la précédente, on serait conduit à conclure

ifsullal alisurde. Le raisonncniL-nt précédeiil sciiiil cependant irréprocliablf si la série désignée par S était convergente; on peut donc artirmer qu'elle ne l'est pas, et l'on voit en même temps quelles erreurs peut entraîner l'emploi des séries divergentes

Théorèmes relatifs à la convergence des séries à termes positifs.

229. Lorsqu'une série a ses termes réels et positifs, la condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit convergente est que la somme, quelque loin qu'on la prolonge, ne puisse pas croître indéfiniment. Il est clair en effet que si dans la somme

on prend un nombre de termes toujours croissant, les résultats obtenus vont en augmentant, et si ces résultats ne peuvent pas dépasser toute limite, ils approcbent nécessairement, autant qu'on veut, du plus petit des nombres qu'ils ne peuvent pas surpasser.

230. Lorsqu'une série à termes positifs est convergente, si l'on diminue ses différents termes, on obtient une série nouvelle qui est aussi convergente, car la somme des termes de la nouvelle série ne peut évidemment pas croître sans limite.

On déduit de cette remarque la démonstration du théorème suivant, qui est d'un fréquent usage.

Théorème. Lorsque dans une série à termes positifs

le rapport -^^ d'un terme au précédent est, pour toute valeur de n, inférieur à une

certaine limite moindre que l'unité, la série est convergente. Supposons, en effet,

««. w«+(. ««+2,-» étant positifs, on déduit de ces inégalités u„+,<^l,ii„, ii„+: <^ II' II,., u„+, << /i'«„, . . ;

les termes de la série proposée sont donc moindres que ceux de la progression convergente

//„ -+- h II,, -| ^> M„-f- . . . ,

par conséquent la série est elle-même convergente.

231 . La comparaison d'une série à termes positifs avec une progression décroissante conduit à un autre caractère de convergence. (Considérons la série

Si le terme général «„ est moindre que le terme correspondant A^ d'une progression géométrique décroissante, la série sera convergente ; or la condition

u„<.Kq" équivaut à

mais \lk ayant pour limite l'unité lorsque n augmente indéfiniment, cette condition sera évidemment remplie pour les valeurs de n supérieures à une certaine limite,

pourvu que q surpasse la limite vers laquelle converge m", ou lorsque cette limite n'existe pas, pourvu que q surpasse le nombre k auquel cette expression reste constamment inférieure. Si donc il existe un tel nombre qui soit moindre que l'unité, on pourra former une infinité de progressions convergentes dont les termes seront, à partir de celui d'un certain rang, supérieurs à ceux de la série proposée, et cette série sera elle-même convergente.

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Si le terme u„ de rang n -f- i , dans une série à termes positifs , est tel que l'expres-

sion «" reste, pour des valeurs suffisamment grandes de n, constamment inférieur à un nombre k moindre que l'unité, la série est convergente.

Les deux règles précédentes n'apprennent rien dans le cas (»ii It; rapport '—et l'expression u^ tendent vers l'unité lorsque n augmente. Dans ce cas, il peut

y avoir convergence ou divergence, et pour décider la question, il faut recourir à d'autres règles.

ÛM PREMIÈRE PARTIE, t- CALCUL DIFFÉRENTIEL.