On démontre facilement que la série

2 3 4 5 ' Il II -+- i

déjà considérée (228), est divergente. Il est impossible, en effet, que la somme de ses termes s'approche indéfiniment d'une limite déterminée, car en s' arrêtant à un

terme quelconque -? la somme des n suivants

est composée de n termes, tous plus grands que — et par conséquent cette somme

est plus grande que -; quelle que soit donc la somme déjà obtenue, on peut l'ac-

croître de plus d'une demi-unité, donc elle augmente indéfiniment sans avoir aucune limite.

D'après cela, toute série à ternies positifs

dans laquelle le produit nu,, ne décroît pas indéfiniment lorsque n augmente, est nécessairement divergente. Supposons, en effet, qu'à partir d'une certaine valeur de n, on ait constamment

nu„~^ k , k étant un nombre fixe différent de zéro ; on aura par suite

nu,,'^ k,

[n + p) u„+p^ k , et les termes de la série proposée sont plus grands que ceux de la suite divergente

n n -\-i II + p

ils ont donc une somme infinie.

233. La réciproque du théorème précédent n'est pas exacte. Une série telle que le produit nu„ tende vers zéro lorsque n augmente, n'est pas pour cela nécessairement convergente. On peut même démontrer, et c'est un théorème bien remarquable dû à Abel, qu'il n'existe aucune fonction (g {n) telle que toute série à termes positifs

soit nécessairement convergente si u„(p (n) tend vers zéro quand n augmente, et nécessairement divergente dans le cas contraire.

Pour démontrer cette proposition, remarquons que si la série à termes positifs

«»-t-M|-f- Ih-h. ■ .+ Itn-h-

est divergente, la suivante

l'est aussi. On sait en effet que l'on a (44) pour toute valeur positive de cr,

/(H-ar)<x:

par suite,

/{Mo-HM, +...+ «„)—/(«„-)- «,-|-. . .+ M„, )

= l{ iH < ,

\ a„-f-M,-j-. . .+ M,,/ u,-h u,^-. ..-IriK-,

et en faisant successivement n— i, n — i,...,

et en ajoutant ces inégalités,'

Mo «o-(-«i H,-|-M, + . . .-t-M„,

Si donc «0+ «,+... -I- u„ augmente sans limite avec n, il en est de même à fortiori du second membre de l'inégalité, et la série dont ce second membre forme les n premiers termes est divergente.

Cela posé, soit, s'il est possible, <p (n) une fonction de n, telle qu'une série quelconque à termes positifs

soit convergente ou divergente suivant que 9 («) .«„ tend ou non vers zéro lorsque n augmente ; alors la série

23i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

sera divergente, et la série

^'^^TTÔ '^'i^)-^^\ ^(^^[^+^) + .T3)]

. sera convergente ; car, dans la première, le terme de rang n multiplié par ç) («) donne pour produit l'unité, et dans la seconde, à cause de la divergence de la première série, le produit analogue tend évidemment vers zéro: mais, d'après ce qui a été dit plus haut, la série (i) étant divergente, il doit en être de même de la série (2), et l'hypothèse qu'il existe une fonction œ {n) remplissant la condition admise implique contradiction.

234. Quoique les séries à termes réels et positifs ne forment qu'une bien petite portion de celles que les géomètres ont à considérer, on s'est occupé souvent des conditions de leur convergence, et nous devons adjoindre aux théorèmes précédents quelques autres résultats intéressants auxquels leur étude a conduit.

Théorème. Lorsque dans une série à termes positifs

chaque terme est moindre que le précédent, la série (A) et la suivante

(B) u,~^- aii^-h a' Ug,-\- a'' u^:,-\- . . , -\-a"ii^„-h ■ . -,

sont en même temps convergentesetdivergentes, quel que soit le nombre entier désigné par a. Supposons d'abord que la série (A) soit convergente, désignons-la par S; on aura

ces inégalités sont faciles à établir. Considérons par exemple la dernière de celles qui sont écrites, les termes de la série (A) allant par hypothèse en diminuant, le second membre est plus grand que si tous les termes de la parenthèse étaient remplacés par Ua», et par suite plus grand que

OU que

et à fortiori, puisque a est entier, plus grand que a" Ua».

En ajoutant les inégalités (C) on obtient, en remarquant que les indices se suivent sans interruption dans le second membre,

et comme la série dont les a" premiers termes figurent dans le second membre est par hypothèse convergente, le premier ne peut pas croître indéfiniment et la série (B) est convergente.

Admettons, en second lieu, que la série (A) soit divergente, nous écrirons les illégalités suivantes

( a — . ) au^ > M„+ M^^., -+-...-+- u^, , ,

(a -i)a';<„„>«„„-+-tV+i -+-•••+"->"+'-. 5

(|ui toutes sont évidentes si l'on a égard à ce que les termes u,, Mj, «3,,.., vont par hypothèse en diminuant.

En ajoutant les inégalités précédentes qui ont toutes lieu dans le même sens, on en déduit

le second membre croissant par hypothèse indéfiniment avec n, il en est à fortiori de même du premier, et la série (B) est, comme nous l'avions annoncé, divergente.

235. Cauchy, (jui le premier a fait connaître le théorème précédent, s'en est .servi élégamment pour prouver que la série

est convergente ou divergente suivant que l'exposant po.sitif a est plus grand ou plus petit que l'unité. H suffit, en effet, d'api)liquer à cette série le théorème général qui précède, en y supposant a = 2. On voit alors qu'elle est convergente ou divergente en même temps que la série plus simple

H Ht -t- — -

de même l'inégalité (2) peut être remplacée par

or il est clair que l'on peut satisfaire à la première de ces inégalités, en choisissant

p. plus grand que l'unité, pourvu que la fraction -^ ait une limite plus grande que

l'unité, et à la seconde en choisissant jx plus petit que l'unité, pourvu que -r— "ait une

limite moindre que l'unité. Dans le premier cas la série est convergente, et dans le second elle est divergente. •

239. Lorsque le rapport -p-^' a précisément pour limite l'unité, la convergence

ou la divergence de la série reste douteuse ; on pourra souvent en décider de la manière suivante. Il est évident, d'après ce qui précède, que la série dont le terme général est u„ est convergente si l'on peut trouver un nombre fx supérieur à l'unité et tel, que l'on ait constamment, pour de grandes valeurs de n,

«(Ire)''

la série est au contraire divergente s'il existe un nombre [i inférieur à l'unité et tel, que l'on ait constamment, pour de grandes valeurs de n,

Or la première de ces inégalités peut s'écrire Ji '^

(3) l^nilnf, # ÂJ^'^

c est-a-dire

(4) 1- >!« + (.!. l/t, ou enfin

]-L-ln 1-i-

l'inégalité (2) équivaut de même à