I.ln

Pour qu'oQ puisse satisfaire à la première par une valeur de ^ supérieure à l'unité,

il suffit que -rj-^ ait une limite plus grande que l'unité, et pour qu'on puisse satisfaire à la seconde par une valeur de ^i moindre que l'unité, il suffit que la même expression ait une limite moindre que l'unité. II. y a donc convergence ou diver-

gence suivant que l'expression y— a une limite plus grande ou plus petite que

l'unité.

Il est bon de remarquer que le numérateur I — étant égal à I In, serait in-

fiiiiment grand par rapportai .Irt, si les deux termes dont il est la différence n'avaient pas un rapport infiniment peu différent de l'unité, c'est-à-dire si la règle précédente n'était pas en défaut; la nouvelle règle est donc particulièrement applicable aux séries pour lesquelles la précédente ne suffit pas.

Remarquons enfin que nu„ tend nécessairement vers zéro, sans quoi, u„ étant

comparable à -> la série serait divergente comme la série

La limite de l'expression y-j-yest donc positive dans les cas où il peut y avoir intérêt

à la chercher.

1^ 240. Si le rapport " tend vers l'unité, la convergence ou la divergence de la

série restent douteuses. Pour en décider, on comparera alors le terme général u„ à

rtlrtfl.l/i)"

Si pour de grandes valeurs de n cette dernière expression surpasse u„, ij. étant plus grand que l'unité, il y aura convergence; si au contraire on peut faire en sorte que, /u, étant moindre que l'unité, m„ surpasse l'expression (r), il y aura' divergence.

1 • . 1 I. • . • . ■ \i • nu„\n

Onconclutaisementde laqu uneserieest convergente SI I expression . . . — a une

limite plus grande que l'unité, et divergente dans le cas contraire. On remarquera, comme au paragraphe précédent, que pour que la limite dont nous parlons ici ne

soit pas infinie il faut que le rapport -— ait l'unité pour limite. S'il en est J. 3i

atO PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

ainsi, -p^ aura lui-même l'unité pour limite, et par conséquent la troisième règle

servira précisément lorsque les deux précédentes n'auraient rien pu apprendre.

La série des règles analogues peut se continuer indéfiniment, mais les cas où elles peuvent s'appliquer deviennent de plus en plus rares, et il ne semble pas nécessaire de nous étendre davantage sur ce point.