Considérons, par exemple, la série

II I

le rapport d'un terme au précédent a pour limite l'unité. En posant u„ = ■; on a

et la limité de ce premier rapport est l'unité. On a ensuite

nu„ \n \.\n «l.lrt

la limite est zéro. La série est donc divergente.

Bègle de Gauss.

242. Gauss a donné dans l'un de ses Mémoires une règle de convergence pour les séries à termes positifs, qui, sans être aussi générale que les précédentes, s'applique à une classe nombreuseet importante de séries. La démonstration donnée par l'illustre auteur est d'ailleurs tellement élégante, qu'elle mérite d'être reproduite pour elle-même.

Soit une série

Supposons que le rapport -^^ s'exprime par une fonction rationnelle du nombre n des termes qui précèdent î<„, en sorte que l'on ait

Ce rapport tendant évidemment vers l'unité, la série n'est pas de celles auxquelles la règle (230) soit applicable. Le tbéorème de Gauss est le suivant :

Si la première des différences A — a, B — è, . . . , qui ne s'évanouit pas est positive, les termes croissent avec n, et la série est divergente.

Si la première de ces différences qui ne s'évanouit pas est négative, les termes de la série sont décroissants lorsque n augmente.

Si les coefficients A et a sont inégaux, les termes croissent sans limite ou tendent indéfiniment vers zéro; lorsque au contraire A — a est nul, les termes de la série ten- ^ dent vers une limite finie et différente de zéro.

Le seul cas où la convergence soit possible est celui où k— a est différent de zéro et négatif, et dans ce cas, siA+i—a est positif ou nul , il y a divergence, si ^

A -h i — a est négatif, il y a convergence. ^

Nous allons démontrer successivement ces théorèmes.

i" Si la première des différences A — a, B — b,..., qui ne s'évanouit pas est positive, le rapport '— sera, d'après l'expression (i), constamment supérieur à

l'unité pour des valeurs suffisamment grandes de n, les termes de la série vont alors en augmentant.

a" Si la première des différences A — a, B — b,..., qui ne s'évanouit pas est négative, le rapport '— est inférieur à l'unité pour des valeurs suffisamment grandes

de n, et les termes de la série vont par conséquent en diminuant.

3° Si les premiers coefficients A et a sont inégaux, les termes de la série croissent sans limite lorsque A — a est positif, et tendent vers zéro si A — a est négatif.

Supposons en effet que A — a soit positif; soit h un nombre entier tel, que

posons

Dans la série

v, + v,-\-Vi-h ...-(- t',. 4- ... ,

le rapport d'un terme au précédent est

tv^ /«.+,Y n f, \ «„ / M -f- I '

c'est-à-dire, en remplaçant -^' par sa valeur. ^

iA-f-I , ; 4 /*

n +{na-\-i) n ■

et comme on a supposé AA>/<a-+-i, le rapport -^ est plus grand que l'unité

lorsque n est très-grand ; — augmente donc avec n, et par suite u„ est infini en même temps que n.

Si A — a est négatif, pour prouver que «„ tend vers zéro, il suffit de considérer

la série

Il, Hj

lin U„+,

le rapport d'un terme au précédent sera

M„ « + an

n + An +. . .

on en conclut, d'après ce qui précède, que — croît indéfiniment, et par suite «„ tend

vers zéro.

4" Si l'on a A=^a, les termes de la série tendent vers une limite déterminée qui n'est ni zéro ni l'infini.

Supposons d'abord que, A étant égal à a, la première des différences A — a, B — &,... qui ne s'évanouit pas soit positive; soit h un nombre entier tel, que l'on ait

/i + 6— B>i; posons

Dans la série dont le terme général est r„, le rapport d'un terme au précédent est exprimé par

"" "" "'* n^+^''+An'^'^-' + bn'^"-'-^. . /

et comme par hypothèse on a

le terme général v„ diminue lorsque n augmente; mais, en vertu des équations (3), u„ est moindre que („ en valeur absolue : et puisque i>„ diminue, il est impossible que u„ augmente sans limite, et comme ce terme est croissant avec n, il converge nécessairement vers une limite finie.

Si la première différence qui ne s'évanouit pas est négative, on pourra appliquer le raisonnement précédent à la série

III I

Ui Ui II, u„

et les termes de cette série tendant vers un* limite finie, il en est de même de leurs inverses m, , Wj,..., «„.

5" Si A — a + 1 est positif ou nul, la série est divergente. Soit h un nombre entier positif suffisamment grand; posons

(4) i',. = ii„{n — /i], »'„+, = «„+,(«— A + i), i'„+, = «,.+,(« — /« 4-2)..., on aura,

i — h-hi) /t^-4-[B- A(A — i)]r^~' i^'^' +{a—h] n^-h{b — a/i) «"■"'+-...

Si A-+- 1 — a est positif, v,, augmente avec n lorsque n est suffisamment grand, car le coefficient de n^ au numérateur est plus grand qu'au dénominateur. Si A -+- I — a est nul,— est encore plus grand que i, car les coefficients de n^

étant les mêmes, celui de n ~' est plus grand au numérateur si h est supposé suffisamment grand ; on aura donc, dans les deux cas, pour une valeur de n suffisamment grande,

et par suite, en remplaçant v,, et i'„+., par leurs valeurs, et mettant au lieu de n, n-h i , n+ 2,...

on en déduit aisément

et comme la série qui figure dans le second membre est divergente, il en est à fortiori de même de la série proposée qui forme le premier.

6° Si A — a -h 1 est négatif, la série est convergente.

Soit dans ce cas h un nombre positif moindre que a — A — i, je dis que l'on aura, pour une valeur suffisamment grande de n,

Cette inégalité revient en effet à

(n — li — I ) «,

Or on a, d'après l'expression de -^ »

nu,+,

n^t'+An^-f-Bn^~'-f-...

,(a/i,)rtV[A{A + i)<i]n'"-4-..

24i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et, comme A — aH-i-f-A<o, cette fraction est, pour de grandes valeurs de n, constamment moindre que l'unité. On a d'après cela

„ ^„ 1:zA±l^„ («-/'-») {n — h){n-/i + i)

«-1-2 /l(rt^,)(,j|2)

et par suite,

(6) .„+»„„ + «„,,+... <,„r, + !izi^Lii!+(^-/'-0(»-/0^..1.

Or la somme des termes qui multiplient u„ dans le second membre peut facilement se calculer. On a pour une valeur quelconque de n

rt— I II— h — I

'-~7i Ti — '