f- " ~ ^' ~ ' » — ' {n — h—\)(n-li) n ~~ h nh

n — h — i {n — h — i)(n — h) (n — h — i]{n — fi) — {n — h-

/i h.n.Çn + 1) ,..{n + p-i- i)

La fraction qui forme le second terme du second membre tend vers zéro lorsque p augmente; car, si l'on nomme Vp la valeur générale de cette expression, on a

Vp+, n — h-i- p + ■?. p + (n — /( -h 2 ) 'V ~ n-\- p + 1 ~ p -ir(n + -i) '

par suite, la différence désignée plus haut par A — a est négative, et Vp tend vers zéro. La série qui figure dans le second membre de (6) est donc convergente, et il est par suite impossible que le premier membre «„ + «„+,+.... augmente sans limite. L» série dont le terme général est u„ est donc convergente.

Méthode de M. Kummer.

243. M. Kummer a fait connaître une méthode à l'aide de laquelle on peut trèssouvent prononcer sur la convergence des séries à termes positifs. Cette méthode se distingue des règles précédentes par la grande indétermination qu'elle laisse subsister dans le mode d'application, et qui souvent est un avantage pour ceux qui savent habilement en profiter.

Soit la série à ternies positifs

(l) U,-\-U,-\-lh+. . .-{-Il„-h

Soient <f{n) une fonction quelconque de n et a une constante arbitraire; posons et l'on aura identiquement

ainsi qu'on s'en assure en substituant à <^ (n), ({'(«+ i)>-» 'eurs valeurs fournies par l'équation (2).

Cela posé, supposons que pour de très-grandes valeurs de n, (f {n)u„ tende vers zéro, et que, de plus, <i^ (n), <i^{n+ i),... soient tous positifs; il est clair que le premier membre, qui est positif, tendra lui-même vers zéro, quel que soit k, et que, par suite, la série est convergente; nous avons donc le théorème suivant :

Soit f{n) une/onction de n telle , que ç (n) u„ tende vers zéro lorsque n augmente et que de plus la différence

if{n)u„ <f{n+\)u„+, a a

soit positive pour n infini: la série est convergente . La condition

a peut s'écrire, si l'on suppose a positif,

elle sera toujours remplie, puisque a est arbitraire, si — — - — f (n 4- i) a une limite plus grande que zéro.

214. M. Kummer a fait connaître un second théorème qui permet d'affirmer dans un grand nombre de cas qu'une série à termes positifs est divergente. (Conservons la notation du numéro précédent, et posons en outre

\i) <([n)Un — <f{n-hi)u„+, = u^,f(n).

Remplaçons successivement n par n -^ i, « -^ a, n + -5,..., et ajoulant membre

à membre les équations obtenues, on aura, puisque u„ff{n) est nul pour n infini,

ou, en divisant par/(n),

Si mainteliant /(«) tend vers zéro lorsque n augmente, les coefficients qui dans le second membre multiplient les termes de la série primitive sont tous moindres que l'unité, et, par suite,

tp ( ra ) M„ .

Si donc ^-p-p n'est pas nul pour 71 infini, la somme des termes qui suivent un

terme quelconque n'a pas pour limite zéro, lorsque le rang de ce terme augmente sans limite et la série est évidemment divergente; nous pouvons donc énoncer le tbéorëme suivant :

Si ç ( « ) est une fonction de l'indice n , telle que le produit y ( « ) m„ soit nul pour n infini, et que de plus des deux expressions

et

fin) la première soit nulle pour n infini, et la seconde positive , la série est divergente,