I. Crt/r
dSi DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.
et, en faisant croître m indéfiniment, msin — tend vers z, msin'' — • vers zéro,
lim^ sin- — ■ vers z'^, ( i '-] vers c'', et l'on a
L'équation
cos mxdx
2 oc ces X + x'' i — oC donnerait, par une transformation toute semblable,
0 h' -hz' 1
Nous retrouverons ces formules, qui sont importantes, par des méthodes plus rigoureuses que l'indication précédente, qu'il serait aisé cependant de compléter.
/ s\nxco\.-xdx
/, I — la cos:ï: H- <y?
On a, comme on le vérifie aisément, quel que soit le nombre entier n,
OC
COs(a« + i) -
cet- x^= 2(sinj7 H- sin 2.r 4-. . . + sinnj;) H >
sin -
%vt\xco\,- X -^ . , cos(2re-f-i)-
2 , , ^ C ^\v^xdx 2
(te = 7:(i-f-o: + a' + ...4-«"-'H-
par conséquent, en ayant égard à la formule (4o).
^0 sm -
Lorsque n croît indéfiniment, le second terme du second membre tend vers zéro, comme on s'en assure en le considérant comme une série à termes alternativement positifs et négatifs.
^«-' sin^rrfx cos(2„ + ,)- -^ ^.^^^^^ cos(2n + .i:
/•'"^' %mxdx ""^^""^'S. ^ r^"+' sin^r/.r
Jo I — 25; COS.r + a' . x J ^ i — 2aC0S^+a'
sin- - " •^ sin -
La somme de tous les termes pris en valeur absolue serait finie, car ce serait l'inté-
grale
■ sin'a:cos'(2« + 1)-
2 a COS a: 4- a- )' . ^x
dont aucun élément ne devient infini. Or la différence de deux termes consécutifs est infiniment petite évidemment par rapport à chacun d'eux, et la somme de ces différences, infiniment petite par rapport à une somme finie, a nécessairement pour limite zéro.
On a donc enfin, en remplaçant la série i + a-f- a^ + ... par sa valeur,
Jf •ixvi x dÇtX. - X dx \ 2 71
0 1 — aacosx-t-a^ (i — ol)
/" I sin^ tang-^rfx ^^ ,.
I — 2acosar + a^
On a, quel que soit l'entier n,
sin In -^-\x
lang - ar = afsinar— sxviix -^ sinSx — . . .) zfc ^^ --->
ces -
et l'on en déduit, en raisonnant comme précédemment,
su
sinar tang- xdx
' " 2acosj;-f-a" (i + a) En ajoutant celte formule à la précédente, on a
dx 71
lacosx -t- a' I — a'
résultat compris dans la formule (38).
ig2 ' sin'^cdjc
: cosjr + a')(i — 2(3 COSJ? + (3') On a
sin'ar sin^
; -— -. 3~ = , (sina;4-psm2a; + S'sin3a; + . . ),
(i — 2«cosx-l-a')(i — î^cosar + P') 1 — 2acosa7 4-«^
et par conséquent, en ayant égard à la formule (4o),
a et /3 étant, bien entendu, plus petits que l'unité.
, — '■ — -. l(\ — ixcosmx -\- a^).
On a, en supposant a plus petit que l'unité,
/(i — aacos/nx + «') = — 2 (a cosw.r H cosy. inx + -j- cos3w^ + • ■ • !•
D'ailleurs (189) donc
cospmx , TT
£^ — — dx =z - e-P"' ;
, / , r*/ I — 2acosmx4-aM , 47) / -^^ i ax— — T.
Trae-'"— r - e-"— . . . = 77 /(i — ae-").
Si dans cette formule on fait a = i et a = — i successivement, et que l'on retranche les résultats obtenus, on trouvera
- mx
«sin - m.
l CCS - m
//tang-m,
(49) / . , ^. dx=^~l -,
! - rnx
( 5o ) / dxz= — l
'"•l'iTT^KT
rf^
+ 2«cos/nx + «^)
On a
,1 — 2a cos/n.r 4- 2a' cosama; + . . .); '
I + 2 a ces OTjr -f- a' i — a'
dx I / 7r 2 a?: ,. , , n
Ja f H-^')(' + 2aC0sma; + a') i — a^\2 2 2
TT ^ i^ote-
2(1 — a'j \i + ae
X sin mx dx
J""" xsmmo.
2aC0S/n.r4-a
On a trouvé (I, 386)
\-\-iaL cosmx + a.
par conséquent (190)
- = a sinma: — a'sinamjr + a'sinSma: — ... ;
xsvdmxdx TT
i4-^^)(i + 2acosma:-)-a') aa '
2(n-ae-'") 2(a + e'")
sin/wjîrfa;,
e~"^^ étant plus petit que l'unité, on a
et de même
^— = e— (e-'^+ e-3:r^+ e-57rx^ •!
Mais, lorsque k est positif,
Jr*" b
par conséquent
sin mx dx = > f-, r, ; + 7 r,
0 e^-^-e--""" ^[[■y.n-i)T.~aY-\-nf ^[(are
[(are — i)7: + «]'H-m'
« devant recevoir toutes les valeurs entières et positives. Mais on a trouvé (I, 408)
2(1 + cos«)
L (7r-«rjL {7r + «rJ
En différentiant les deux membres par rapport à m, après avoir pris les logarithmes, on trouve
Zâ r(2«— 1)7: — al"+m" ^ [(2« — Or + aJ' -l- m' '
e"+acosa + e-" ^ [(2«— 1)7: — aj"+ m" ^ [(2« — ijr + «J
iss DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.
et par conséquent
r°° C'-he-"' , l f,m g~m
f 53) / smmx ax ■= »
* ' Jg gîr^ g — WJ; 2 6"+ 2C0Sa + e-'"
où il faut supposer a<7:, afin que la formule (K) soit applicable lorsque /:=a—7r. En remplaçant dans celte formule m par « \/— i , elle devient
•^(e°^4-e-")(e''-^'— e""-'^) , sina
cosa + cos«
et en remplaçant ensuite a par m\l— i
(54) I -î^ -cosmxdx—
En faisant m = o, on a
(55) î— "^f dx= ^ •
Si dans la formule (53) on fait a = o, elle devient .
J"" sin m^crfa? i e'"
et en faisant a = n
(î>7J 1 axs\nmx:=-
197. Développons les deux membres de l'équation (56j suivant les puissances de m. Nous aurons (I, 388), en remarquant que
m rn
= — 5^^— lang — V— 1 >
et en égalant les coefficients des mêmes puissances de m
/»«> x-n-'dx 2'"— 1
198. Les formules des paragraphes précédents permettent de calculer des intégrales analogues, dans lesquelles figure en dénominateur sous le signe / la somme de deux exponentielles.
Si, en effet, on remplace successivement dans (53) a par a -i- 7 et par a '-■,
on trouve, en retranchant l'une de l'autre les équations ainsi obtenues,
(e'"—e~'") . , afe" — e-") sina
sinmxaxz=
e="'-t-a cos2rt 4- e-""
On déduit de (54), par un artifice semblable,
,a , I r"" (e'-^+e""-'') , (C+e-'Icosa
(00) - 1 ^ '- cos mx fix =: -~
2 / 7r.r TT^ e'"+ 2C0S2a 4- e~
En faisant m = o dans les équations (60) et (54), on trouve
■nx itx
lang- a.
En faisant dans (61) e ^ = z", -^^ —m, et dans (62) e-'^ trouve
TZ.r — ~«
/z "' — z ~"' dz t: mr. ^ — lang „ Z"— Z-" z in in
Jo 2"
'+ Z-'" dz r
z 2 « niTt COS
in
En faisant n = -, m ^ a
m, on
Û?Z = r COlaTT.
On peut de cette formule déduire la suivante, déjà démontrée (141),
Jo 1+^
dx :
sinaTT
Dans la formule (65), remplaçons z par z^ et a par -, nous aurons
,ii ^ [" 2"'— Z'-" , rr I (07) I — dz = - coi - a-K ;
en mettant 1 — a au lieu de a
et en ajoutant les formules (67) et (68) ce qui équivaut (144) à
dz = -r-^ )
Z' sm«7r
r'^Z'-'dz TT
Jg 1 -t- z ~ sina-K
