L'intégrale

^"^ ' Jo I — A cosa? — B si

aisée à calculer directement, est égale à

sin.r

en supposant toutefois que A^4-B* étant moindre que l'unité, le dénominateur de la différentielle ne devienne jamais égal à zéro. Si A et B désignent des constantes imaginaires, la formule est-elle encore applicable et quelle est la valeur de l'intégrale?

Le développement en série est nécessaire pour distinguer les différents cas.

Soit

A = « + a'v/-^> B = ft + 6'v/ — I,

le dénominateur ne s'annulera que si l'on a en même temps

a cosx +,b sinx = j, a' COSX + b'smx=:o.

UVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉnNIES. m

c'est-à-dire

équations contradictoires si l'on n'a pas

(ab' — ba'Y = a'' + b".

Nous supposons que cette condition ne soit pas remplie et que l'intégrale soit par conséquent finie et déterminée. Posons

A = a6'-ia';

on peut toujours supposer A positif, car, en changeant x en an — a;, les limites restent les mêmes et les signes de b et de b' sont seuls changés. On a identiquement

(71) ; iT—. =- ;::^;^ 1 =H =— l|»

I — Acos^ — Bsinar n — n' ^ — i \j — Ce^^' 1 — C'e-'N^ /

ou

A-Bv/^

A + Bv/^

Le signe du radical v'i — A^ — B^ étant arhitraire, nous supposerons que n soit positif.

Avant de développer la fraction (71), il importe d'examiner si les modules de C et de C sont plus grands ou moindres que l'unité. Ou a

QQ, ' — » + «' \/— ' ^ I + /t — n! y' — I dont le module est

évidemment moindre que l'unité, et l'un des modules au moins est par conséquent moindre que l'unité.