I. Cale. int. ai

Ces modules sont respectivement

et puisque A est positif, c'est le second qui est le plus petit. Le module de C est donc moindre que l'unité; celui de C peut être plus grand ou plus petit que l'unité suivant des cas qu'il faut distinguer.

Le produit des carrés des modules de C et de C est

I + «' + «'»— 2« (fl'+ a"+ 6'+ 6'')' — 4A' 1 -\- n^ ■+■ n"+ïn~ (i + n' + «'' + 2/1)= *

On a, par conséquent,

{a' -h a"+ 6» + 6'')2 — 4A' = (i -+- n'-hn"y — ^n\

et l'on voit que suivant que A sera plus petit ou plus grand que n, à^+a'''-hb^ + b'^ sera en même temps plus petit ou plus grand que i -i- n' -\- n'^ , et, à fortiori, a^ 4- a'^ -t- 6* + 6'* + 2 A plus petit ou plus grand que i + «' + ra'^ + an, et le module de C est par conséquent plus petit ou plus grand que l'unité, suivant que A est plus petit ou plus grand que n. Mais on a

et par suite

ft' — n" = I — a' + a'

nn' = aa' + bb' ;

d'où l'on conclut, à cause de la valeur de A%

d'où résulte que A est plus petit ou plus grand que n, suivant qu'il est plus petit

ou plus grand que \la'^ + b''\ et la condition cherchée est par conséquent la suivante :

Le module de C est toujours moindre que i;

Celui de C l'est seulement lorsque ah'—hd est plus petit que \ja'^ + b'''. Le module de C étant moindre que l'unité, on a, dans tous les cas,

et, suivant que le module de C est moindre ou plus grand que l'unité,

'—^ — =—i—Ce'^'+C'e"\/-'-h..., I — Ce'v-

I — Ce'v'-i

et par conséquent, lorsque {ab' — a'b)^ est plus petit que a'' -h 6'', on a

n — n' y/ — i I— (a 4- a' ^^Y cosx — {b + b' \/— ij'sina:

= I +Ce^v'=^ + C'e"v'^+ . . . + C e-'>/-' + C" e-"\/^' +

Mais

e'"'^' dx = o, et / e-''*"'/-' dx^o;

par conséquent, dans ce cas,

r'" dx 27r ^^ .

'^ Jo ' — A cosa; — B sina: " „ „' y/Z:7 "~ y/, a' — B'

Si l'on a au contraire

{ab'—ba'y:>a"+b",

on doit

écrire

COSar —

sinz

et dans

ce cas

r" dx ^

Jg i — A'cosx — B sinx ~

On voit, par cet exemple, combien, avant d'employer les développements en séries, il importe de s'assurer de leur convergence.

200. Presque toutes les intégrales définies précédemment obtenues par le développement en série ont été choisies parmi celles dont l'intégrale indéfinie corresk pondante n'est pas connue explicitement. Le développement en série peut s'appliquer élégamment à d'autres cas pour simplifier les calculs ou l'expression du résultat. Nous en donnerons un exemple emprunté au Cours d'Analyse professé par

Ifii DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

M. Hermite à l'École Polytechnique. Cherchons l'intégrale

F{x)(ix

où F (a;) désigne un polynôme entier quelconque. Les réductions successives indiquées (63) montrent que l'intégrale indéfinie est de la forme

rF(x)dx , ^ . , K r (f^

J \/> — ^' ' J \Ji—x'

9 (a;) étant un polynôme entier en x et A une constante. On en déduit évidemment

/•-*-' T{x)dx , r+' dx

/ , = A / , = Att,

et toute la question se réduit à déterminer la constante A.

Or cette constante, facile d'ailleurs à calculer directement dans chaque cas, est égale au terme constant dans le produit de F(a;) par le développement

/ i\ ^ 'I '-3 I 1.3.5. ..(are — i) i

Reprenons en effet l'égalité '

rF(x]dx , , . , r dx

et développons dans les deux mcmhres, suivant les puissances décroissantes de x, les fonctions placées sous le signe intégral, ainsi que le terme algébrique tp[x) \/ï — x^; il faudra pour cela les écrire sous la forme

VI— x^ ^ v' — ' ^ ■*'

F (a;) étant supposé de degré a, on aura a^, a^,i,..., a',... étant des constantes.

En multipliant les deux membres par — ;= el intégrant, on formera le déve-

loppement

t de 1 , - sous forme d'une série contenant dans un nombre fini de

^ rF{x)dx J \/i—x'

termes les puissances positives de x, un terme de la forme -p^= Ix, et des termes

en nombre infini contenant les puissances de -• Le produit (p{x) \/i — x'^ traité de

la même manière donnera un développement purement algébrique, et l'intégrale

— '= {ï — x^) ' donnera pour premier terme -4= Ix, tous les autres étant

ary/— . • y/— I

algébriques; en sorte qu'en égalant les coefficients des deux termes logarithmiques, on aura

c'est précisément le théorème énoncé, dont la démonstration directe résulterait d'ailleurs aisément des formules (63).

201. Plusieurs intégrales se transforment en séries par décomposition en un nombre infini d'intégrales partielles, dont les limites embrassent, à elles toutes, l'intervalle compris entre celles de l'intégrale cherchée.

Soit, par exemple, à chercher

J'"^ s'mx (ix On a évidemment

J^'^s'inxdx r^ s'xnx dx Ç'^'^s'xnxdx r^ s'mx dx

Si l'on pose

on aura

'{■in-\)

et, en posant a; = (an — \)n — y,

<''"-')^s\nxdx

'{■in--i)

par conséquent

J"'"" smxdx C'^ — sinr .,

r<^-'"-')^sinxdx T^ smrdr

c^sxRxdx r . -, / ' ' ' ' \

Jo ^ . Jo \T.—r ■r-+r ^1^—r stt+j /

c'est-à-dire (I, 409)

(74) J — x^^âj sinjtang-jrfr=j sin'-jrfr^--

La formule précédente déjà obtenue (179), et que nous retrouverons par d'autres méthodes, peut se rattacher à la formule

r. ( . sinScp sinSœ \

- = .(^sm9 + -^- + -3--f.]

donnée (I, 382). Soit en effet (f=^dx, on a

t: j fs'mdx sinSdx sinSdx

2 \ dx 3dx 5dx

Le second membre est la somme des rectangles inscrits dans la courbe dont l'équation est

sinx

et ayant pour base 2dx. La somme de ces rectangles est évidemment, lorsque dx est infiniment petit,

r"' siaxdx Jo ^

^^^ r-cosxdx

Jo «' + -^-'

On a évidemment

r°° cosxdx r''"' cosxdx r^^cosxdx r^^"^-')''cos.rrfx ,

Mais en posant

on a

ri^''+'^)^ cosxdx r"" cosy dr

. Jmn «'+^' ~Jo «' + (2/171 +jrr

et, en posant x = (an -h 2) n — y,

i^"-t-^-)^ cosxdx C^-^ cosxdx

r(^"+V^cosxdx r'' J2n„ a' + ^' ~Jo «'

par conséquent

^2/i,t a'-hx'^^J^ a'-+-{im:+xy'^'^Jo «M- [ara + 2)7:

On en conclut, en différentiant la troisième formule (I, 408), après avoir pris le logarithme des deux membres,

J^'^cosxdx I r'^'^ {e'— e-'jcosxdy 0 fl' + JC' ~4«Jo e" — 2 003/4-6-°

Maison déduit de (1, 386)

= I + 2e-° cos/ + 26""'" C0S2J 4- 2e-'° cos3;'- + . . .,

pa z>— o

e" — 2 cos j + e

d'ailleurs

cosrajcosjrfy = o, o

COS'j dr = TT,

et par conséquent enfin