F « + - -l--F(«4-fl =:F a +cosa: — j^— ' -) -—t

^ ' 2\ q / 1 ^ ' dx 1.2 dx' ^

2 ^ F «+ - — ^^^— F a + fl = sina: — 7^— ' H ■ . , H

^' 2\a/2^ aa 2 da'

Mais on a (I, 386)

,- * I — pcosx

3 ) = i -h p cos X -i- u' cos 2x + • •■ ,

^ 1 — ip cos a;~\-p' ' '^

//, psina; . . . ^

(4) — ^^ = wsinx + p-sin2^ + «'sin3.r 4- ■• •

\ — ip cos X + p' "^ ^ ^

Multipliant l'équation (i) par l'équation (3) et l'équation (i) par l'équation (4), multipliant ensuite les produits par dœ et intégrant entre les limites o et n, on trouvera

,■ — r"\F {x + -] — F{x + (i)\s\nxi/x /> y/— 1 I L \ qj ] (IF{a\ p' d'F(or.)

- Jo I — 7.p COS^ -f- p' ~ ^ ' (Ix "ï da~ '

c'est-à-dire

(") SJ„ ^ i-.pcosx+p^^—^ 'dx = F(x^p] + Fix),

^' ' t: J„ I— 2/>cos^+P' ^ '^' ^ '

La fonction F reste indéterminée, et ces résultats ont par conséquent une grande généralité; mais il ne faut pas oublier que les séries dont on fait usage doivent être convergentes, et que, sans cela, la démonstration n'a aucune force; p par exemple doit être plus petit que l'unité, sans quoi les formules (3) et (4) seraient inexactes.

Soit par exemple

ax" -\- 2x + a

dans laquelle a est une constante donnée; supposons de plus qu'on fasse a = o, on aura

2 I + a cosar)

Le premier membre de l'équation ( 78) est donc nul et le second se réduit à F ip); cette équation est donc inexacte.