I. Cale. int

L'équation (77) devient dans ce cas

I r^ dx{i — pcosx] p '

t: Jo {i — ip cos^ -h p''){i + a cosjt) ap'+ ip -\- a

équation inexacte, comme il est aisé de s'en assurer par l'intégration directe.

Il est aisé de voir en effet que les séries (1) et (2) ne sont pas dans ce cas convergentes. Soient h et k les deux racines, évidemment réelles si a est moindre que l'unité, de l'équation

On en déduit, pour la valeur particulière « = o,

d"'V{a.) 1-2. 3.. -M ^ da" ~ a{li-l{) ^ >'

et en observant que hk = i, les séries (1) et (2) sont dans ce cas :

——T j— [(/( — /,) cos.r + {à'— fi') cos'î*- + ...],

• il [h — ff }

— -T — -.; [{/i — Il jsinx -\~ {h'— /,-)sin2x +. . .],

l'une des racines A et k étant plus grande que l'unité, ces séries sont évidemment divergentes.

205. Soit encore F («) ~ oc", eu faisant a = i, et supposant l'exposant a positif, les séries (i) et (2) ne sont plus divergentes et l'on a

,, / /-: , / , — - . ,« X I ax , (IX

t ( 1 + e'v-i ) = (1 + COS.Z- + v^— I smx! -— 2° cos" -- ces h J~i sin —

et l'on déduit des équations (77J, (7^^, en retranchant de la première la formule obtenue par l'hypothèse/? = o et mettant ix à la place de ,r,

2(1 — pM r- cos"xcosaxdx /i-i-p\"

(rn) !^- j =z: l i- ,

t: Jo i -— 2pcos2x -i- p' \ 2 y ^p r^ cos'x sinaxsinixdx /i-t-pY 1

^ ' 71 X l — -ipCOS^X -{- p-

Si l'on développe les deux membres suivant les puissances (]e p et qu'on égale de part et d'autre les eoetficients de p", on aura

o t 1 j a ( rt — I ) . . . ( « — /( + I ) r

oi - / cos'xcosaxcos-inx dx =z —^ '

- I cos°x(

a , ^ T' „ ■ ■ j n{a — j)la — ■?.). .{n — n + i) 1

02; / cos'x sm (IX H\n 7. nxdx^=—^ ^ ^ ^ — — »

et, en prenant la somme et la différence de ces résultats,

01 '■ r^ „ , s J a(« — i). . .(rt— 77 + t) I

\oi] - / cos".r cosfrt — 2H)xrtjr = —

84; / cos"x cos(rt 4- 2« ).r cfx = o

n peut désigner un nombre entier positif quelconque, le cas de n = o doit être exclu. Mais en faisant dans (79) ^ = o, on a

'85 - / cos''^cosflxr/^= —

JCOS"^ (

Formule d' Ahcl.

206. Soit Y [x -^ a] une fonction développable suivant les puissances de e. — ", et

et en supposant le développement étendu aux valeurs imaginaires de a

F(x -i- a; y'— 1 I -H F(ar — a< V^') = 2A + 2B, ces a/ + 2B, cos2a/ +. . . , on en déduit (202)

Soit par exemple F (x) = -? on a

r* dt ^ T^

ce qui est exact, comme on s'en assure par l'intégration de la fraction rationnelle. Soit encore ç {x) z= —, on aura, en posant o-t = z sin <^, x = z cosip,

= Z-" COSrtW,

et comme, d'après les hypothèses,

, — at

z^=^x'-]-(x'l', o = arctang — ,

la formule (86) devient

J^°° dt

cet cosrearc tane —

Si l'on veut prendre qs pour variable au lieu de t, on a

langcp,

XX dcf

«'cos'tp -\- x^ sin' 9

cosnarc

tang

— = COS/lcp,

COS"q)

et la formule (87) devient

,„Q. a r^ cos"9 cosre9 c?9

^ ' X"-' Jg .r'sin'9 4- a' ces'

Si l'on fait a = x, on en déduit la formule (85)

Cp 2[X + «}

I cos"çp cosnipacp =-;;:;:, •

Formule de Jacobi.

207. On a trouvé (157), (160), en nommant m ci n deux entiers positifs tels que m^ n.

J^''' . , (im — i)i-}.m — 3)... I .f'" — i)(2/i— 3)... I

JCOii^"X C0S2nxdx^=(~ l)" j I 0 «/o

• cos2nxdx^=(~ \Y I sin'""x cos 2 nxdx

Jsir

cos='""*"'xcos(2« -\- \) X dx ^^ [— \)' I sin^"^'jrsin(2« -4- i)xdx

I (2m + ij2m. . . (m 4- re+ 2) TT

les deux dernières sont comprises dans la formule plus générale

cos'.r ces ix dx =

qui suppose seulement que la différence p — i soit un nombre pair. Cette formule peut s'écrire encore

r \o^Px cosix dx = PlP^lhAE^ltl) (/>-/-. )(^zi';-3)-'-(^'7')(^^-3)^i n Jo i.3...{2i — I) 2.4.6... (/> + «) 2'

qui, à cause des formules (i), donne

(2) i eosP X cos ix dx = ^P — — ' v ^ 'l sin^'xcos''-'xdx.

Jo 1.3...(2/— 1) J^

Cette équation suppose que la différence/» — i soit un nombre pair. Si l'on double la limite supérieure, les deux membres doubleront et resteront égaux, et comme

ni DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

ils sont tous deux égaux à zéro, lorsque la différence p — i est impaire, la formule

ainsi modifiée

(3) / cosrTCoai.TfJx— f--^ '4^" ,^ ■ — '~r-^- ( sW x co^p^' x dx .

Jo I.3..3...(2Z- I) .^

a lieu pour toutes les valeurs entières des nombres p et f', tels que l'on ait p — / > o.

208. Jacobi a déduit des résultats précédents une formule très-générale pour la transformation d'une classe d'intégrales définies.

Soit y (z) une fonction développable suivant les puissances entières de s et

cp(^) = Â„4- A,z -h Aj^'-f-. . . -(- A/, z/' + . . • .

En désignant par œ' [z) la dérivée d'ordre i, on a

i[z)^-^p{p-^)...{p-i-\-^)kfZP->.

et d'après l'équation (3) on en conclut immédiatement

<d{cosx) cosixdx=:z'\ An I cosPxcosixdx= -^ — ; — ; ; j dxsin'-'xa'i

0 ^ ^ Jo ï.3...(2«-ijX

cos^l

Cette formule déduite du développement en série est vraie d'ailleurs dans tous les cas et applicable au cas même où la fonction n'est pas développable. On a trouvé en effet (I, 143), en supposant cosx=:z.

Il — I

d'-' (j— z'] ^ , sin/.r

dz'-' ^ ' i

Mais une intégration par parties i — \ fois répétée donne, quelle que soit la fonction f{z).

X+i . /*"^' d'il a'I 9'(z)(.-2') ' dz = {-iyj^^ ^(^)-"— rf^r dz.

Si l'on pose z — coscc, cette formule devient

(89) I <f'{cosx)sin''xdx=:3.5. ..{vti — i) j <f>{cosx) cosix dx.

Je, Jo

Formule de M. Kummer.

209. Soit <^[x) une fonction quelconque à laquelle soit applicable le théorème de Taylor, en sorte que

, > do[x) y? (l''o(x]

Posons

ce qui donne

X zrzxe'"'»'-'.

.V + OC = X [i + cos2f H- ^ — I siiiai') = ■ix cosi'e''v'-'; par conséquent

o {-ix cosve'^-' ) = o{x) + xe'-"v- '9'(x)H e^'^'-^' ç" (x) -+-

Multipliant par e*""^' ' civ et intégrant les limites ^' = ;r et v' = ^ 7:, on trouve

o\ ?.x cosfe'V-i) dv=: sin/iTT — ; '^Ix) h cs"i'.z-) — .. . .

, ^ > L " (rt-i-i) ^ ' ' i.a.(/t + 2} ■ ' ' J

De même, en posant a = — xw, on a

(f)[x — xn'j = cp(x) 9 (•«■) + 9 (.r) — • • • .

Multipliant par»'"-'^/n^ et intégrant entre les limites tr = o et (v = 1 , on trouve la même série exprimée par cette autre intégrale

I iv"-'a{x — xw)da> = - a{x) — — ^ 9'{x) H -, <a"(x) ■

el en égalant les deux expressions de la même série

90- / <f{ixcosve"i^')e''""J-'dv = s\nnr.i <v'—'^(x — xa')div.

Si l'on pose w ^ i — u

(91) / (f{2Xcosve"^'-')e'"'^-'dv = s\nn7i / {i ~ u)"-' (f(xu)dit.

Soit f {x) =:x'". Cette formule donne, quand on a cliassé les imaginaires et divisé par x'",

(92) I {iCQS>v)"' cos{m + in)vdv =:s\nm: 1 u°'{i — 11)"-' du.

^ TZ t/O

210. Lorsque dans la formule (91) on attribue à n une valeur entière k, sin/în devient nul, et le premier membre est en général égal à zéro. Je dis en général, car il faut excepter le cas où l'intégrale qui figure au second membre serait infinie. Lorsque cela n'a pas lieu, divisons les deux membres de (gr) par sinnTT, puis donnons à n la valeur entière k; le premier membre, d'après ce que

nous venons de dire, prendra la forme -, et l'on aura, en le remplaçant par sa véritable valeur, égale au rapport des dérivées.

2 ^/, f' pi

Si l'on h\i k^= i,

(9^) — r^^ l o{ix cosve'^'-') e""^-^ vdv=^ \ olxu)du.

Soit çi (ic) = a;""', on aura

— 7-;-=^ / (2C0SC)"-' e("-^''V-' c<fc= -, et en faisant disparaître les imaginaires

(94) / (2 cosc)"-' sin(n 4- i)i't/f = -r--

211. M. Kiimmer a fait connaître d'autres formules qui, en établissant des relations entre certaines intégrales définies et la somme de séries qui s'en déduisent, permettent de calculer les unes lorsque les autres sont connues. Soit

f Vf{u,k)r/n

une intégrale définie dans laquelle U désigne une fonction quelconque de u; supposons que, par un choix convenable de cette fonction, on ait trouvé une relation de la forme

Vf(u, k)du = Bi, Uf{ii,o)du,

B;t étant une fonction connue de k.

Posons

Ao/(«, 0)4- A,/(«<, i) + Aj/(«, 2)+...= cp(tt),

et supposons que ç («) soit une fonction connue.

I (p(M)U^M= Ao / /(m, o)Ufi?M + A, / f{u,i)Vdii-\-- ., et d'après la relation (a) qui a été supposée

J/*b nb

Vcf{u)du= I Vf{n, o)du{X„B,-y- A,B, -+-. . . + A„ B„ a •y a

c'est-à-dire

I u Cp ( M ) rfw

f \Jf{u,o)du

M. Kummer a employé élégamment cette formule pour la détermination de plusieurs intégrales définies.

L'intégration par parties donne

Posons donc dans les formules précédentes

du.