Considérons de nouveau l'intégrale

(1) . u= I cf[x,x)dx,

Ja

dont les limites a et 6 sont supposées indépendantes de a. On a

(2) \uda.=.\ \ I 9(a-, a) r/a rf.r. En effet, d'après le théorème démontré (215),

-j- 1 j <f[x, c()dx\dx = 1 9 (r, a)(/x = «,

et par conséquent le second membre de (2), ayant pour dérivée par rapport h a la fonction u, est égal à / m da,.

222. Si l'on substitue à l'intégration indéfinie par rapport à a une intégration définie entre deux limites c/.o et a, l'équation (2) devient

/ udx^j I (^{x-, x)dx\dx,

et les deux membres sont égaux, car ayant même dérivée par rapport à a, ils sont nuls tous deux pour a = Xo-

223. Les deux membres de l'équation ( 3) résultent l'un et l'autre d'une double intégration effectuée sur la fonction o [x, a).