Quelle que soit la fonction bien définie
on a (I, 360)
dx dy
(JP__dQ dy dx'
par conséquent, en nommant a, ]3, a et h des limites quelconques, on a
La première intégration pouvant s'effectuer immédiatement, on aura ainsi des relations parfois importantes entre des intégrales de formes très-différentes. Soit par exemple
cp [x -\-y y' — I J =:: e~^'-*-^\^-'^' ^^ &-■'' eJ'' (c0S2ay — y/' — i sinax^-).
On a
P z= «-■'' ey- cos 2 xy,
Q = — e~'^ ef' 'àVis.T.xy.
L'équation (5j devient
■ /** I dx{e~''e^ CO?<i^x — c-^'e" cosaax)
= — I dy[ eJ' e~'' sin i by — e^' e^"' sin 2 ay).
Soit a = o, a = o et /!* = 3C , le second membre deviendra nul, et l'on aura I (e"'-''e'^'cos2Sx — c-'')dx^^^o,
/ e--''cos2[3x- rfx = / e-f'dx,
ce qui s'accorde avec les formules (153), (182).
par conséquent
, • ce
U\TIE PREMIER. - INTftORAI.ES nftFlNIES ET INDÉFINIES. 187
Cas remarquable â' exception.
225. II faut toujours (4) excepter le cas où les différentielles que l'on intègre passent par l'infini clans l'étendue des intégrations. Les intégrales, dans ce cas, n'ont pas toujours de signification déterminée, et les théorèmes dans lesquels elles figurent, n'étant pas suffisamment démontrés, peuvent conduire a des contradictions.
On n'a pas, par exemple,
parce que, pour « = o, l'intégrale
r ' loi}~x')dx ' X [oc^-^x-'f,
devient
r'dx
= oo ■
L'application pure et simple des règles ordinaires aux deux membres de l'équation (i) donne en effet un résultat absurde. On a
(x'—x')dx
{x'-ha')'' x'-hx'
(a} — x']dx I
et
On trouverait de même
et les deux membres de f r) sont par conséquent inégaux.
226. Réciproquement, si en renversant l'ordre des intégrations d'une intégrale double on obtient deux valeurs différentes, on peut affirmer que la fonction intégrée devient infinie pour des valeurs des variable» comprises dans les limites de la double intégration.
Gauss s'est servi Irès-ingénieusement de cette remarque pour prouver que toute équation algébrique à coefficients réels admet une racine de la forme a 4- ^y — '•
Soit l'équation
(2) .r"'+ AiX^-'-f-Aj.r^-^ -(-... + A„=o.
Posons
x^: p (cosw + ^—1 sint.)).
Le premier membre deviendra
ou
P ^p" ces m 01 -f- Aip"-' ces (m — i)« -f-. . .-)- A„,
Q =: p" s\n m',^ + A, p"-' sin(;n — t) « +. . . -f- A„,-, psinoi.
Posons
on aura
= arc tan
rtC)
doi~
dp
dp
dp
et la dérivée — — - a pour dénominateur (P° + Q'')^. Si donc nous prouvons qu'elle
devient infinie, P et Q devront s'annuler en même temps, et l'équation aura une racine.
Écrivons l'équation
(3) i ffp I — — T-dr,)= I dbi j ■ dp,
d' V qui est exacte nécessairement, quel que soit R (223), pourvu que ne de-
vienne pas infini. Nous allons calculer les deux membres en supposant la valeur de R très-grande, et nous verrons qu'ils sont inégaux.
On a
r d'Y j dY
f d',\ =rr -— .
,/ ilptir,) dp
Si l'on remplace w par zéro et par 277, les valeurs de -j- sont égales; par conséquent,
quel que soit R, le premier membre de (3) est égal à zéro. Calculons le second membre.
On a
J (Ipdf.) ° ^ dM '^ P'+Q'
Q et P ^ sont nuls tous deux pour p = o, et pour /î = R, puisque R est supposé
très-grand, on peut les réduire, ainsi que P et Q à leurs premiers termes. On trouve ainsi
r^ rf'V mR""(cos'm« + sin'ww) __
Jq dpdw^ ^ ~ R2'"(cos=ww + sin'ww) "" '
X"-X"li^--
Les deux membres de (3) sont donc inégaux et il faut en conclure que
dpdbi
devient infini; que, par conséquent, P et Q deviennent nuls en même temps et que l'équation (2) a au moins une racine.
Intégrales déduites de la différentiation sous le signe j ■
227. La différentiation d'une intégrale définie par rapport à un paramètre qu'elle contient permet d'obtenir des formules nouvelles dont la détermination directe serait quelquefois moins facile.
On a, par exemple.
Je-" dx =: -■
On en déduit, en différcntiant n fois de suite par rapport a a.
formule déjà obtenue.
La formule
i ('-■"'■ffx= - k/ -
donne de même, par la différentiation n fois répétée par rapport à a.
( 9. ) / .r '" e-"- dx = ■ —■—' )/ir.
On a (182)
/ e-'' co?,-}.kxdx ^ - \Jt: e-''' . On en déduit, en différentiant par rapport à k,
e-^\v sin o.kx dx ^rr ~ /,- y/7r e-^' ,
et, en différentiant de nouveau n fois de suite,
(4) re-x-sin(..y;x + ^;rW^ = iï^
Si l'on fait, par exemple, « = 1,^ = 1,
(5) i e-^ .r'cos2arrtjc = — -;— •
Jo 4 e
