La formule
, . r'^x'-'dx ;ra— '
./o a + x sinrtTi
s'obtient immédiatement en posant (141) x = «z.
On en déduit, après n différentiations par rapport à oc, et faisant a = i,
, g . /*" x"-' dx ( — 1 )" ff (a— i)(fl— a)...(rt — « )
Jg (i-H^)"-'' sin«7r 1.2.3...»
L'intégration par parties donne, en supposant m<^n-h i, la formule de réduction
r^ x-'dx m r=° x"-' dx
et, par conséquent.
- Vi-t-i
c'est-à-dire
iyj
Jo (•
l ^jj,.+j sinaTT 1.2.3. .. (2/1 + i) 230. L'intégration directe donne
^ a'cos=x + (3'sin'j; "^ 2 5!(3 On en déduit» en différentiant par rapport à a,
/"^ ces
ces' J? </a:
La différentialion par rapport à ^ donnera de même
et en ajoutant les formules (i3) et (i4), on a
Jg [x'cos'x + ^'sin'xY 4a(3 \a= (37 Eu opérant sur cette formule comme nous l'avons fait sur (12), on en déduira
n dx '^ ( ^ , ^■■|.^\
'^^ X (a'cos-':c + P'sin=.ï-)'~ 16 UP' ?^' «'l^v'
et de celle-là
Jo {«'<
dx
cos'x + jâ'sin^x)' Sa \«|3' ^a' x'^" a'P'
231 On a (99)
1 1l ces
192 DEUXIË.ME PAKÏlli. - CALCUL LNTÉGRAL.
On en déduit, en différentiant par rapport à m.
La formule (198)
, . mi:
■k' sin — • f.n
4«^cos'
/" .r" '"— x"-^'" dx TT mn
•in donne de même
En fiiisant /tz = o, elle devient
4«'cos2
2rt
dx Ix — — 5^- •
232. La différentiation sous le signe 1 permet quelquefois de déterminer une
intégrale inconnue en la rattachant à sa dérivée car rapport à un paramètre.
Soit, par exemple,
r^ dx arc tans;/-.!:
On en déduit
du /" dx 71 I
di" Jo (i ■^-r'x'')\j\—x' 2 y/ , ^ ,.'
et par conséquent, u étant évidemment nul pourV = o,
- C dr T. ,, . -.
Si l'on fait par exemple r=; i, on aura
/"' dx nrc, tane.r
J' dx arc tane.r t: , , ,- ,
J^"" arc tans rz 0 X{l+X'
r^ dx
