m .,.,„ Mais on a (165), si n est pair

z""-' dz I e-"s'm"xdx.

e~" sin" X dx ==:

et si n est impair

{z'-hi){z'+(^)...(z'-hn') '

L'intégrale (55) sera donc réduite, dans tous les cas, à l'intégrale d'une fraction rationnelle que l'on pourra calculer.

Soit, par exemple, n = i. m = 2. On aura

r'^sln'xdx C^ , r"^ . , , r-^ dz

Jo •*'' Jo Jo Jo -Z'-l-'

ce qui s'accorde avec la formule connue, démontrée (237) cl (179). L'intégration par parties donne en effet

sin:rcosare?ar

/sin^xdx I . . /•sin:rcoi = sm'ar -4- 2 1 X' X J X

s\n9.xdx

et par conséquent

/"^ sin^jt-r/x r* s'mo.xdx - Si l'on pose n = 3, m= i , on aura

Cette formule peut, comme la précédente, servir de vérification. On a, en effet

h'w'x = y sina; — y sin3.r,

Jo ^ ^ ^ 4 Jo ^ ''^ 4 Jo •^ ^ ~ 4

Si l'exposant m n'était pas entier, la même méthode serait applicable; mais le résultat nécessite l'intervention des fonctions appelées r, et nous en renverrons le détail à un autre chapitre.