Cherchons encore l'intégrale

el'^'—e'-'-''—{^—(x)xe'''-' ([3— a)'.r»e°

dont la valeur est finie et déterminée, en supposant toujours s: et j'î négatifs, parce que, pour a7 = o, la différentielle ne devient pas infinie.

En remplaçant la limite zé:o par la limite infiniment petite s, l'intégration |)ar parties donne

/ dx =: h I dx,

dx =

* ^fe/5.t; ^g«a-

I Pe/'-'-ae''^'" i /"^^ |3'e/5-'^— aV=''^

dx,

et l'intégrale cherchée devient

(a— ;5)e" le''-— «''•= I (3e''-— ae'-^'

(a — SPe"-'' + - S^e''-"-' - - a^e'

dx;

en développant les exponentielles qui figurent dans les trois premiers termes, faisant £ = o et réduisant l'expression placée sous le signe d'intégration, l'intégrale proposée devient

:20) „=-,-«' 4- ^ P' afi + / ^~ 1 dx=^OC'+y^^-OC^^^I^,

et Fon trouverait de même l'intégrale

En posant x = i — y, on trouve

Jo ^ •/!— « ' T Jo ^ y Jo

c'est-à-dire (168)

{il) I — l[i — x)+f •' ■ — — --■

Mais l'intégration par parties donne

Par conséquent, le produit lyl{i —y) étant nul, comme il est aisé de le voir, pour j= o,

Jo '-J Jo r- •

Si donc on pose

J '"^'(' — ^) = '?(^')' l'équation (21) devient

(22) ç(a)4-cp(l— a)— /« /(i — «) = — ^, 1^

et, si l'on fait a = -^

271. La même intégrale peut être calculée pour deux autres valeurs numériques de la limite supérieure.

Posons

^\i — x) [\ — x)'' ■ \i~-xj x[\ — x) \ l — Xj X[l — X) \ — x

par conséquent

(,5) of-^)=r/^,-^=ri^/-^-^r^^^/^-,

■\i — x} J„ x[\—x) i—x Jy J.- i-a; Jo I — .r i — .r

et il n'y a pas de constante à ajouter parce que le premier membre s'annule comme le second en même temps que x.

En ajoutant les équations ( 2/1) et (aS), on a

Dans cette équation, remplaçons x, qui est arbitraire, par • Nous aurons

On a d'ailleurs

r-" dx ,, , /'■-'■ , / X x'

par conséquent

9(x) + ?(- .r.-; =- ^ (.^'+ ^ + |J + • • -j =: ^ 9(^')- I. Cdlr. inl. 28

L'équation (26) peut donc se mettre sous la forme

Donnons à x une valeur telle que l'on ait

c'est-à-dire «

On aura

cp((3^)-9(P)=-[/(. + [3)]',

c'est-à-dire, à cause de ]S^ = 1 — p et 1 -h jS = -^î

On a d'ailleurs, en vertu de l'équation (22),

et l'on déduit des équations (28) et (29)

.?(>-(3) = -^+(log(3jS

c'est-à-dire