L'intégrale
dx .1 + X
pout aussi s'obtenir pour certaines valeurs de la limite x.
Posons
On a .
^ ix 1 — X
d t\ — x\ ■ 3 , , /i — ^\ __ Ix . dx'^\\+x)~' {\ + xy'^ \\ -^ x] \—x''
par conséquent
En faisant a; = f , on voit (173) que la constante est égale à ■^• On a donc
Si l'on donne à x une valeur telle que •
c'est-à-dire
l'équation (33) donne
c'est-à-dire
/5/\ r^''"' dx , i + X n' « r,/' r U'
Jo V — x i — x-J
Cette intégrale est indépendante de a, car elle ne change pas de valeur si l'on attribue à ce paramètre une autre valeur b. La différence des deux intégrales est en effet
Jf* ' x° — ' x^^' /* ' ^'"^~' x''^~^ dx — n I dx,
et en posant dans le second terme x" =y, il devient identique au premier, et la différence est par conséquent égale à zéro.
L'intégrale étant indépendante de a, on peut, sans changer sa valeur, y supposer fl = i; elle devient alors
Mais on a
Jo V-^ i-x"!
et par conséquent, en remarquant que pour x = i
et aussi
Jo \i — -^ I— x'7
Formule de Friillani.
275. Frullani a fait connaître une formule très-générale qui, malgré quelques restrictions auxquelles elle est soumise, contient un nombre infini de résultats particuliers.
On a, quelle que soit la fonction 9,
Si l'on fait ax = z, on aura
^^^r''^[ax)-^{o)j^^
Jo ^
Jo ^
u étant indépendant de a conserve la même valeur si cette constante est remplacée par une autre, b par exemple, et l'on a
p 9(a^)-9(o) ^^ ^ r * ^{bx)-^{o) ^^^^ Jo ^ Jo *■
et par conséquent
,36) rii^^^x-r'ii^w=.r2ii)rf.-rîi^)^x=r^^x=,(o)/^.
Le premier membre peut s'écrire
Jo ^ Jh ^
et si l'on suppose h infini, on a enfin
C'-^ (D[ax) — m[bx) j , ,,h
( 37 ) j ^^—^--^-^ dx=^[o)l-;
c'est la formule de Frlillani.
La démonstration est fondée, on le voit, sur ce que h devenant infini, l'intégrale
dont les deux limites deviennent infinies, se réduit alors à zéro. Il en est quelquefois autrement, car ces limites, infinies toutes deux, sont infiniment écartées l'une de l'autre. Il y a donc, dans chaque cas, un examen à faire avant d'appliquer la formule.
