Considérons encore l'intégrale
I — - (arc tangax — arc langoo:).
La formule de Frnllani lui assigne une valeur nulle; mais elle est en défaut, parce que, pour des valeurs croissantes de h, l'intégrale
h ("*arc tangôj? .
/'"arc tanj Jk ^
n'a pas pour limite zéro. On a, en effet, en intégrant par parties
/arctangéxJj: , , , , /' dx /x ï^! = arc lang bx Ix — b | j— - , X J ' + b'x'
et
Jarclanefta;rfa: , ,//. hb , k , C dxlr ■ — ^^^ = arc tang li l -r — arc lang — / ht rr— , ' / X ° b ''an J, 1 -t- b'x'
22 i DEUXIÈRŒ PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.
L'intégrale qui forme le dernier terme du second membre a évidemment pour limite zéro. Quant aux deux premiers termes, on peut les écrire
arcunghll -r — /- j +/- (arctang/t — arctang — J, c'est-à-dire
arc tang/i/ -r — / - arc tan
Le premier terme a pour limite -^t' et le second tend évidemment vers zéro
lorsque h augmente.
On a donc enfin, en suivant la méthode et non la formule de Frullani,
/ (l.TC 7t d
(40 I -^ (arc tanga.r — arc lang6.r) = - /t--
279. Le mode de démonstration de Frullani s'applique à des cas analogues. On peut, par exemple, calculer l'intégrale
Jo ^'
dans le cas, bien entendu, où elle a une valeur finie.
Soit
Jo ^'
On en conclut (217j
(tu f" (o'(ax) , o(li] ax -
(ia Jo X II
Or, d'après la formule (36), dans laquelle on suppose h = i,
r^^^-^dx=r^^--^à.ix--Jio)ia,
Jo ^ Jo ^
donc
,ht r''9'{x) 9(/o
et en intégrant par rapport à a
ï^ rfx- 9'(o)(«/a- «) - '■^' + C;
a(ii(h)
en changeant a en 6 et retranchant membre à membre les deux équations,
r"(if{ax)dx r''(f{bx)dx Jo ^' Jo ■^'
— [a — b] I 3U — '. ^ <f'{(i){ala — blb + b — a) + ^ ''' ■
Le premier membre équivaut à
Jo •^^ Jk ^'
Si donc on suppose h infini, en admettant que la seconde de ces intégrale? se réduise alors à zéro, on aura
(4.) r9ia^)-9it>x)'^^ Jo •*
— {a-b) ["" '^^ dx + <f' {o){ala— b Ib ^ b - a) + (6 — «) lim.îj^^
280. Soit, par exemple, ç (a;) = cosa;. On aura '^ cosaa; — cosbx
dx = (b
dx = ~{b — a],
c'est-à-dire
. rt + 6 . b — a sin X sin X
-. dx=: -yib— a);
a -\- b b — a et en posant/* = 'y= >
q étant le plus petit des deux membres p et q, car a ei 0 sont supposés positifs, I. C«/(. i/it. 29
281. La formule (/p) ne fait d'ailleurs que ramener une difficulté a une autre, et il est quelquefois plus aisé d'obtenir l'intégrale proposée par une recherche directe.
Soit, par exemple, à calculer
que l'on obtient en faisant dans la formule (42)
L'expression (44) f^st finie et déterminée, quoique les deux intégrales dont elle est la différence soient l'une et l'autre infinies. Pour la calculer, cherchons d'abord
Jo ^ W-e-- On a identiquement, comme on le vérifie aisément,
x\t' — I X 1 j x\e-' — I ix 2 /
par conséquent
r-^dx/ X i\
Jo X-' \e'—e'' 2/
I r'^dx, ^ ,, /"=^dx/ i I I \ C'^dx/ i II'
2J0 ^ Jo ^ ye^—i X 2 j Jo X \e"— i IX 2
En posant ix = s, la seconde et la troisième intégrale coïncident. On a donc (241j
Jo ^'' \C''—e-' 2/ J,, X ' par conséquent, eu changeant successivement a^^ en az, puis en pz,
fif — ^- — ■-V^=--'=.
Jo z ye'yz ^- ^.z 2z} 2
ru . p .-----^^-.1^/2,
LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉHNIES. et, en retranchanl les deux dernières équations l'une de l'autre.
Théorème de Cauchy.
282. Si l'on connaît pour toute valeur entière de n l'intégrale
on peut en déduire l'intégrale
(47) C x-^-'y\[x -'-"]], dx^ii,„.
On a en effet, d'après l'équation (4^),
2"'F(2')rf2 = 2A,„.
Aux limites — ce et ce de z correspondent les limites o et oo de x, et nous aurons
On a d'ailleurs
car le premier membre devient identique au second si l'on y remplace x par -i pour mettre ensuite x à la place de y. On en conclut
dx
Mais on a
cosi 2« 4- 1 M = ces M I -1 — sm'« -I- ^^-^ TT-, — ^ sm'« -f--
Si l'on fait
SinM=:
cos« =
on aura
^in+i \ ^y ^ I . 2 \ xj
r / I \ ^ ~i dx
Si l'on multiplie les deux membres par F [a; j — et que l'on intègre entre
a; = o et iT = -30 , on aura
iu2n — -A 0 ~f~
