L'intégrale
Jr''sinaa7 , , I (s>\x] dx 0 sm.r ^
se présente dans plusieurs théories importantes, et la limite vers laquelle elle tend
lorsque a augmente indéfiniment est remarquable à la fois par sa forme simple et par les conséquences qui s'en déihiisent.
Si l'on pose OLX=y, l'intégrale proposée devient
^ sm ■a
c. augmentant indéfiniment, on peut remplacer sin- par - et ?('-) par 9(0), et l'expression devient ainsi
■" cp(o)sinrrfr tt , ,
La démonstration précédente est loin d'être rigoureuse. Pour qu'il soit permis en effet de remplacer sin - par -> il faut que l'arc - soit très-petit, et, comme y
varie entre les limites zéro et ah, - prend toutes les valeurs comprises entre zéro
et h. En ne considérant que les éléments pour lesquels il est très-pelit, on supprime une partie de l'intégrale sans avoir nullement prouvé qu'elle soit négligeable. La substitution de 9(0) à <?['-) repose sur une méprise toute semblable, et la démonstration, réduite aux termes simples adoptés plus baut, n'a par conséquent aucune force.
Le résultat est exact pourtant, pourvu que h ne surpasse pas - Supposons d'abord
avec Diricblet, qui le premier a démontré ce théorème en toute rigueur, que la fonction f (x) soit continue, finie et constamment décroissante entre les limites de l'intégration.
Partageons l'intégrale proposée
sina^ sinj?
(i^(x) dx
en plusieurs autres prises entre les limites zéro et -, - et — • ■•. et — > —
' ' x a. x </. X or.
et h; — étant le plus grand multiple de - contenu dans h, on aura évidemment
, /'*sin«x , , /'"sina.r , , , /' " sinar , , ,
5o , / — ; m(x)dx =^ I —. <f[x)ax-\- / —- o(x)dx -\
Jo sin.r ^' ' X S'n^ J, sin.r ^'
rit
/"■ sinaa: , , , T^sinaa; , , , -^ (5){X)dx-\- I —; '~B{x)dX.
Les intégrales qui forment les termes du second membre sont alternativement
positives et négatives, car h étant moindre que -» et <p [x) toujours positif par hypothèse, le facteur v— ^ reste constamment positif, et le sisne est celui de ûxvux
qui reste invariable et alternativement positif et négatif entre les limites de chaque intégrale; ces intégrales, de plus, vont en diminuant, et chaque terme du second membre de (5o) est, en valeur absolue, moindre que le précédent. Considérons, en effet, deux termes consécutifs
(5.) et
(n-¥iy.
sinaj?
sin.r
or.
sinar
(n + On-
sinj;
Posons dans le second
il deviendra
sma 1 — \- X
sin g + j)
9 (y^ +r^dx-
smax
sm
où l'on peut remplacer y par x, et la proposition devient alors évidente, car les limites sont les mêmes, et la fonction ç ayant été supposée décroissante, pour une même valeur de la variable l'élément de l'intégrale (Sa) est plus petit que celui
de(5i).
Cela posé, si nous faisons
vniT
Sina.^ sinx
[x) dxz^± u„,
on aura
JC''s\nax , , r''s\na.x , ,
0 smx ^ ' J^^ sina;
Dans la formule
(n-t-OTT
, r '■'■ s'in OCX ,
± i<„= / — ; oixjdx
posons ax = z, nous aurons
'î"+'>sin^ (z\dz
. z ^ \x) X sin- «
a augmentant indéfiniment, ? ( 7 ) a pour limite f (o), et a sin - peut être remplacé par z. Lorsque a augmente indéfiniment, u„ peut donc être remplacé par
("+')" sin zrfi!
et l'erreur commise est une partie infiniment petite de sa valeur. La somme des n premiers termes de (54) peut être remplacée par
qui, lorsque n est très-grand, diffère aussi peu que l'on veut de - y o) . Quant aux termes suivants
J"- sin «a; , , .
— : a{x)dx 4- . . . , („+0s smx ^
comme ils sont alternativement positifs et négatifs, et qu'ils vont en diminuant, leur somme prolongée autant qu'on veut est moindre que le premier d'entre eux, qui étant égal à
diffère infiniment peu de
r("+^)^s\azdz
et tend vers zéro lorsque n augmente. 11 en est de même du dernier terme de (54), et l'intégrale considérée a enfin pour limite -y(o).
285. Le théorème étant, démontré pour une fonction constamment décroissante et positive est vrai, par cela même, pour une fonction quelconque. Si la fonction ({i{oc) en effet étant toujours décroissante cesse de rester constamment positive, on pourra trouver une constante C a.ssez grande pour que C-j-(û{x) soit toujours positive lorsque x varie de zéro à h; le théorème étant vrai pour cette fonction nouvelle ainsi que pour une fonction constante et égale à C l'est, par cela même, pour la fonction décroissante y (a;) quel qu'en soit le signe. Si une fonction (}{x) est constamment croissante, —(p{x) sera une fonction décroissante à laquelle s'appliquera le théorème qui, évidemment alors, s'applique aussi à (p{x).
Supposons actuellement que la fonction soit constamment croissante ou constamment décroissante entre deux limites ^ et A de la variable, comprises toutes
deux entre zéro et -> la limite de l'intégrale
sina^ sinx
?[xi
dx
sera nécessairement nulle. Si l'on forme en effet une fonction Y{x) égale à if[x) pour les valeurs de x comprises entre g et h et constamment croissante ou constamment décroissante depuis a; = o jusqu'à x=^h, les deux intégrales
sina^ sinx
s\not.x sin^
Y{x)dx,
F{x)dx,
auront la même limite -f{o), et leur différence est par conséquent nulle.
Si l'on considère enfin une fonction quelconque alternativement croissante et décroissante, on partagera l'intervalle compris entre zéro et h en intervalles plus petits tels, que dans chacun d'eux la fonction varie dans le même sens, et l'application des théorèmes précédents donnera dans tous les cas
lim
X* sinax , , —. 9[X)
rfx=-9(o).
286. 11 est naturel de se demander ce que devient l'intégrale
smaa:
sina:
x]dx,
lorsque, a croissant indéfiniment, A est une constante-positive quelconque. Soit nn le plus grand multiple de ;: contenu dans h, l'intégrale proposée est la
somme de celles-ci
Jf""''siiia.r , , r sina.r ,
— . 9 (x ] (tx + / — . o(x) dx
Décomposons la première en 2« autres prises enlre les limites zéro et 7) - et ;:, n et —■> • • • > — ^— n et nn, et dans ces intégrales posons successivement
x=:y; x^=T. — X, X = r. + y, x=^it. — y,---, x^=.m: — y.
Les limites relatives à la nouvelle variable y seront alternativement zéro et -■> - et
zéro, de sorte qu'en changeant le signe de toutes celles d'ordre pair, on pourra les
supposer toutes prises enlre les limites zéro et - De plus, si a est un nombre en-
^\nxx , siiiaK . 7 1. ^' . j » /.,
tier impair, — r — se chance en -~. — - et dx alternativement en + dy et en — cly, ^ sm.r " suij "^
en sorte que l'intégrale proposée devient
Le premier terme a pour limite (285)
Quant au second, il devient, en posant x=^nn-\-y,
/•''-"^sinar , ^ , ,
Si A — nn ne surpasse pas - ;i, il a pour limite
^9(rt7:).
Si h — nn est compris entre - 71 et tî, on décomposera l'intégrale en deux autres : l'une prise entre zéro et -•, qui convergera vers - '^{Tin), cl l'autre prise de - t: h
L Cdir. i,/f. "O
h — nn, qui devient, en posant j = 7: — z,
— viin -\- \)T- — z az ,
et elle a (285) pour limite zéro.
En résumé, on a
'—. 9(^)(/x=7r-9(o)+<ï>(7T) + cp{27I)^-...^-9(« — i)7: + cp(«7r)»
0 sinor |2 j
lorsque a est un nombre entier impair indéfiniment croissant, m: étant le plus grand multiple de tî inférieur à h.
