On a

Si l'on fait successivement m = o, m = i, . . . , m = n, et que l'on ajoute les équations ainsi obtenues après avoir multiplié la première par -/on aura

/ f — h cos2;r + cos4.* +. . .-f- cos2«.r ] e~"''^' dx

=^[i+r(yVr6)+...+a-fâ1.

Le premier membre est évidemment égal à

sin(2« + ,)^^,=,..^^.

sm.r

et si l'on suppose que n augmente indéfiniment, il a pour limite (286)

On a donc

Si l'on pose an = a, - = è, cette équation devient, en remplaçant tt par sa valeur ah,

(57) \[a (--f-e-''*--f-e-"'-+. . . J = y'è^- -(-e-'''4- e-*''-i-.. Ai

a et b étant liés par la relation ab = n, formule remarquable donnée pour la première fois par Cauchy.

Supposons que a devienne très-petit. Représentons-le par dx, b sera égal à ^» e-*', e-'*',... deviendront négligeables, et en multipliant lès deux membres par \Jdx, on aura

ce qui équivaut évidemment à

Jl dxe-''^= - sjr.,

formule bien connue, dont le théorème de Cauchy se trouve ainsi la généralisation.