On a identiquement

r*sina.r , , , r''sinx , , sinaa^ ,

et comme, pour a- = o, la fonction ^— se réduit à ç>(o), on a, en supposant

h plus petit que -»

(58) lim. / 9(a?)ax = - 9(0).

La formule s'étend d'ailleurs sans changement à toutes les valeurs de A, parce que

la fonction 9(0;) étant nulle pour a; = tt, xz=i-k,..., les termes qu'il faut

ajouter en vertu de la formule (57) sont tous égaux à zéro. Si l'on substitue à zéro et h deux limites positives quelconques a et h, l'intégrale

X*sinaa: , , , r*sin2a.r , , , /"'sinaa; , . ,

——<sj[x)dx=\ — ----^{x)dx-J —-^^{x)dx

a évidemment pour limite zéro, quels que soient a et h. Mais il n'en est plus de même quand ils sont de signes contraires.

Considérons l'intégrale

r*sina:.r

I — olx) dx.

a et b désignant deux nombres positifs, on a

, , r* sinax , , , r° aincx , , , r*sinax , , , (5g) / cp(.r)rtx= I (f{x)a.T+ j (a(x)ax.

Mais on a, en posant .X = —J,

X° sinax , , , r" sinar , > ,

-a •'■ Jo J

Lorsque a augmente indéfiniment, les deux termes de (Sg) ont donc la même limite

- ç(o), et par conséquent

r" sxnoLx ,

I — - - cf{x)ax = T:(f{o]

Si les deux limites sont négatives, on verra facilement, en changeant a; en — y, que l'intégrale a pour valeur zéro, et que

,. r sinajr , , ,

quels que soient les nombres positifs a et h.