On a

sina.r C"- , = / cosiixaif,

^ Jo

et lu formule (58) peut s'écrire par conséquent

9 ( .r ) (/x I cos i(x (lu = ~ (f{o), • '() ^'

(6o) -tp(o)= I J» / (f{x)cosuxdx,

^ Jo Jo

où h désigne un nombre positif quelconque et a un nombre indéfiniment croissant.

290. On peut déduire des résultais précédents, quels que soient la fonction o {x)

et les nombres a et h, la limite de l'intégrale

(6i) / coslndu I (f{x)cosux dx.

Lorsque a augmente indéfiniment, elle devient en effet, en ehangeant l'ordre des intégrations,

/**,/*" ,1 /"''sinaf.r— n , , , , I r''s\na.{x + l) , ^, / (f{x)dx costixcosutdu= - j ^3-^ <f{x)dx + -^j — ^3^7^ — cp(.r)f/,r,

ou, en posant dans la première intégrale x — i = z, Gi dans la seconde x -\-t — z.

- / c,[z + l)dz + - \ &{z — t)dz.

Lorsque « augmente indéfiniment, la limite de chacune de ces intégrales nous est connue; mais il importe de distinguer plusieurs cas.

Les deux intégrales (62) sont nulles lorsque les deux limites sont de même signe, et, dans le cas contraire, il sulFit, pour les obtenir, de multiplier n par la valeur que prend la fonction 9 lorsqu'on y fait c = o.

Si donc a et h sont positifs et que t soit compris en(re eux, on aura

costitdul o(x) cosux dx ::= 1 costitdu I o{x)costix dx,

et si / n'est pas compris entre a et h, on a

cos/M du l <^{x) cos'/ar dx.

Si l'on suppose a — f, la première des intégrales (62) se réduit à '■f{t), et l'on a

(64) j(f{t)= j cos/n du j o(x) cosux dx.

Les limites a cl b dans la formule (G3) étant assujetties à la seule condition de comprendre t entre elles, on peut, en supposant toujours t positif, les remplacer par zéro et =0 , et l'on a

(65) -(p(<)=/ cos lu du j o{x,

cosMjr dx.

Soit par exemple y (a,) = e-"'', nous aurons

-e-°'=: I costudu I e-"' cosux dx\

noais

e.-" cosux dx ^

a' + H' donc

J^^ a cos tu di 0 «' + "'

formule déjà obtenue (203).

291. Des considérations toutes semblables aux précédentes fournissent la limite de l'intégrale

sin tu du I <:f>{x)s\nux dx,

lorsque a augmente indéfiniment. Elle devient en effet, en changeant l'ordre des intégrations,

(fi(x)dx i sin tu s\n ux du,

et, en remplaçant le produit des deux sinus par la différence de deux cosinus, on voit que l'expression ne diffère de (62) que par le signe de la seconde intégrale, qui est nulle lorsque a, b et t sont positifs. On a donc, en supposant toujours t compris entre a et b,

(66) -<f{t)= I sin tu du l <f>{x)s\nux dx, et, en prenant a = o, i = 00 ,

(67) -(p(/)= I sin tu du j <çi{x)sinuxdx.

Les différentielles intégrées dans les formules (65) et (67) sont évidemment des fonctions paires de u; en étendant à — 00 et qo les intégrations relatives à ces

variables, le résultat sera par conséquent doublé. On a ainsi

ces tu du j 9 ( X ) ces ux dx