On a, quel que soit n

(2) r(« + i)===Hr(«).

En effet, par définition,

e-" X" dx,

et en intégrant par parties on en déduit, eu remarquant que e~-^.r" est nul aux deux limite.s.

e" " x"~' dx ::= nT{n).

L'intégration directe donne

et par conséquent, h cause de l'équation (2), on a, en supposant n entier,

294. L'équation (2) prise comme définition donne une signification à la fonction r(n) lorsque la variable est négative. On a par exemple

^(-l)-lf{-j)=fnï)-

Les valeurs entières et négatives de n se rattachent par la formule (2) à la valeur zéro, et comme la formule (2), applicable quelque petit que soit n, donne

• r(o) = oo,

r(— i), r(— 2) T{ — p) sont aussi infinis quel que soit le nombre entier/?.