On a
sin«7:
Cette formule est fondamentale dans la théorie dos intégrales Eulériennes, et l'on en a donné un grand nombre de démonstrations. On a
En multipliant les deux membres par a"-' da et en intégrant entre les limites zéro et ce , on en déduit
«/o Jo «^0
Le second membre est égal (141) à -^'^; quant au premier, en lui appliquant la
" ^ ' sin«- ' '
règle d'intégration sous le signe / et remarquant qu'en posant aa7 = |3 on a
Jo Jo ^ ^
il devient
x-" e-' dx = r{re) r(i — n),
L Cale. int. ■ 3ï
et l'on a, par conséquent^
sin/»7T
296. Si dans cette formule on fait n = -, on a ei par conséquent
sin- T
La démonstration directe est facile; on a, par définition,
Posons
l'intégrale deviendra
297. Le théorème précédent conduit à une formule célèbre donnée pour la première fois par Euler. On a, quel que soit l'entier n,
Si l'on renverse en effet l'ordre des facteurs dans le premier membre de cette équation, puis qu'on le multiplie par lui-même, on obtiendra son carré sous la forme
c'est-à-dire, d'après la formule (3),
. 7r . 27r . (re — i)7r
sin- sm sin^ —
Pour calculer cette expression, écrivons l'identité
'— ^" / 27: \ / 4:: \ / (are— a)7r
' — •* \ 2» /\ are / \ are
En y faisant successivement a; = i et x = — i et remplaçant le premier membre par sa vraie valeur n, on trouve
M = ( 2 sm — ] I 2 sin — I • • • ( 2 sin ) >
— • • • 2 sin
«/ \ in j
TiV' f 27:\' / i'« — 1)7:\'
« ^ 2 ces — 2 ces — • • • 2 ces J
\ inj \ inj \ in J
et en mullipliant ces deux équations membre à membre et extrayant la racine
carrée,
„ , . 71 . 3 t: . ( 71 — I ■) tt
n = 2"- ' sm - sm sm
En déduisant de cette équation le dénominateur de (5), on trouve
rU)M« ■•■ri^>==(='^^^ ^'
Valeur approchée de r{ri) lorsque n est très-grand.
298. Nous avons donné (I, 417) la valeur approchée du produit i.2.3...n pour de très-grandes valeurs de n, la formule s'applique, quel que soit n, à la fonction
On a
e-' x" dx.
Le maximum de e "" x" correspond à la valeur x:=n et on peut poser par conséquent
Aux limites zéro et ^o de a; correspondent les limites — ce et co de /, et l'on aura
/•oo
T[n+ i) = n"e-" I e-'" dx.
J ûO
Il reste à exprimer dx en fonction de t et de dt.
Posons
l'équation (Gj devient
et, en prenant les logarithmes,
\ ni III on' 4'*
d'où, par la méthode des coefficients indélerminé.s.
par conséquent
(10 = dx =z (Il JTn ( I H —^ + y. 1
et
r(« + i; = n" e-" I e-''- dl y/a/i ( » + ;;
c'est-à-dire (154)
et à cause de (2)
a\^in o«
lin
On pourrait, en poussnnt plus loin le développement en série, ohtenir un plus grand nombre de termes de (8) dont nous obtiendrons plus loin la loi générale.
299. Cauchy a rattaché élégamment à la formule d'approximation précédente la démonstration d'une formule remarquable qui peut être regardée comme une généralisation de (4) et qui a lieu rigoureusement pour toute valeur grande ou petite des variables qu'elle renferme. On a, quel que soit a; et le nombre entier n,
•Pour démontret cette formule, écrivons-la sous la forme
I{x)T(x^-\---Tix ""'
^' Y{nx) ^ '
L'équation
montre que le premier membre de (9) ne varie pas lorsqu'on fait croître x d'une unité; il ne variera donc pas non plus si l'on ajoute à x autant d'unités qu'on
voudra et si par ce moyen on fait croître x au delà de toute limite, on pourra alors remplacer chaque valeur de la fonction r par l'expression approchée réduite au premier terme de (8), et le premier memhre de (9) deviendra, après des réductions évidentes.
^IO) (27:) ne
Si l'on fait
nxj \ nx
nxj
\ nx j
et si l'on a égard à la formule
/ iH = ••■,
\ nx / nx
on trouvera, pour les valeurs infinies de x.
et
En substituant cette valeur de P dans l'expression (10), on obtiendra le second membre de la formule (9) qui se trouve ainsi démontrée.
