X.C-l-1 lT{x)dx

On a en effet (aj, en posant ndx = 1,

lT[x)dx — \im.dx\lY{x) + ll[x + dx) +. . .+ IY:[x +{n— i)rfx]{,

c'est-à-dire

/ lT'x)dx — Wm.dx l\Hx) Kx + dx) + . . .+ T\x + [n — 1) dx] j.

Mais puisque dx — -■> la formule (g) donne

T{x)T{x + dx)...T[x + {n--i)dx] = T{nx)n-"'(iT:) ' n, par conséquent

Jr^'^' r w — I I "I

lT(x) dx = l'im.dx IT(nx) — nx In -\ /avr H — In • L 2 2 J

Mais on a, à cause de n cte = i ,

Wra.dx /27r = - Io-t:,

lira. - dx In ^^o;

d'ailleurs, n étant infini,

T{nx)=\jTT:e-'^{nxf'~^,

lT{nx) = l v'Ïtt — nx -i- inx j Inx,

ITinx) — nx ln=: l Ji-k — nx + nx Ix Ix In,

Mm. dx[lT{,nx) — nx In] == — x + x Ix, et par conséquent enfin

(il') I lY(x)dx z^- liTi -h X Ix — X.

Expression de T{n) sous /orme de produit infini. 301. On a, par définition.

dx.

Soit

nous aurons

''""=x'('ïr*-

Mais / - est, comme on le vérifie aisément, la limite de

IJ.\1 — z'').

LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES, lorsque a croît indéfiniment; T{n) est par conséquent celle de

p."-' / \i — zi^) dz, ou, en posant s/' = y, celle de

c'est-à-dire (156), pi, étant entier,