La formule plus générale

sm/iTT

se démontre aisément de la même manière. Si l'on remplace en effet les deux

facteurs du premier membre par les produits dont ils sont les limites, on a

OÙ il faut faire croître [j. indéfiniment. Le second membre peut s'écrire

p. + I — rt ,

et, lorsque pt. augmente indéfiniment, ^' a pour limite l'unité, et cette ex-

pression devient (I, 404) -•

303. On peut déduire enfin de la même forme de la fonction T la démonstration de la formule déjà vérifiée (299).

Posons

Uiy.. x) = J^:^:^-UL ^x.

^^ (a:-+- i)(j: -h 2). .. (x + ^jf^ '

en sorte que, d'après la formule (12),

'R{cr> , x)-= xT{x)~.Y\x -\- x), on vérifiera aisément l'identité

TV'U[i>.,x]\i.ip,x— ^j...nu,a:— -- 'j

n(n|:x, nx)

(l.2.3...fx)"»"^ ^

(1.2.3. . . nii.) fj.

en sorte que le premier membre est indépendant de x; et comme on a il peut être remplacé, quel que soit a;, par l'expression

à laquelle il se réduit pour œ = o. Si donc on fait croître p. indéfiniment, la limite de (i/j), égale à celle du premier membre de (i3), sera, d'après les formules (/|) et (12),

et l'on a enfin

T{nx + i)

ce qui, à cause de la formule

équivaut à la formule (9^

T{x+ i) — xT{x),

Développement de lT[/i-\- i) en série convergente.

304. L'expression de T{n) sous forme de produits permet de calculer celle de /r(«-+-i) en série ordonnée suivant les puissances de n. On a, en changeant n en n -)- I dans la formule (12),

T{n+ i) — ix"+' 7

(rt 4- i)(« + 2). . . {« -4- f;i 4- 1)

et comme, ;j. étant infini, a pour limite l'unité, on peut écrire

d'où l'on déduit

(rt-+-l)(/H-2)...(« +^)'

fr

/r(rt + l) = «/jH — /(l +rt) — / (l+ -) / ( 1-+- "

en supposant toujours, bien entendu, que le nombre entier p. augmente indéfiniment-

n étant supposé moindre que l'unité, on peut développer les logarithmes qui figurent au second membre en séries ordonnées suivant les puissances de «, et la formule devient

lT{n-^ i) = — H ( I - + '- n' (