On a trouvé

en supposant que, dans le second membre, le nombre entier [x augmente indéfiniment. ■

On en conclut

lY{x)^ xlfj. 4-/(1.2 .3.. .f/.) — Ix — /(d? + i)... — l{x + ij.),

ClX TV/ r ^ X-t-I X + 2 X -{- IX

Euler a calculé très-exactement la limite de

Lorsque [x augmente indéf'niment, cette limite est égale à

C'est la valeur de '^'(i).

307. Gauss a montré très-élégamment que la fonction 'i^[jr) peut se calculer sous forme finie toutes les fois que x est un nomlire rationnel. Remarquons d'abord que l'équation

SmTTX

donne

/r(^)-l- /r(i — .r) = /7:— /sinTT.r,

et, on (liiïérenliaiit,

(20) i|;(x)— <^(i — .r) — — TTCOlTT.r.

En prenant les logarithmes des deux membres et différentiant ensuite par rapport à .r, la formule (9) donnera de même

f^lix) + Ûl[.T + -

n^{nx) — n In.

Cela posé, considérons la fonction ^y-Y p etq étant deux nombres entiers elp

plus petit que q. I

^{x) est la limite de l'expression

lorsque /jl croît indéfiniment. Or cette expression peut s'écrire de la manière suivante :

La série se prolongeant indéfiniment puisque (j. doit croître sans limite, si l'on remplace x successivement par

^ î -■> on aura

-^li-

. A(l)=r- I-;- /2- -+/--iH

Posons -^ = w, et soit 9 l'un quelconque des angles oa, 2^^,..., [q — \) m, on

aura

I = ces g 9 = C0S2/JIÇ = cos3gcp =. . ., coso = cos(g + 1)9 = 005(27 + 1)9 = . . ., ' ces 9 -f- COS29 4-. . .4-cos(g — 1)9+1=0,

25 i DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

et les équations {0.2) peuvent d'après cela s'écrire de la manière suivante :

cos94'(~ ) =~ î COS9 + coso Iq. ^ cos{q-h i) <p + costp/ • • -,

cosaçd'l ~ 1 = — COS2C0 + COS29 /a " — cosfo +2) œ + cosaoi / -,

cos3ot]j

I cosS© + cos39 11 -i— - cos((/ +3)9 -(- cos3o/ • -,

cos[q— ij9({; f -

cos(ç — 1)9 + COS(</'— 1)9/2 L C0S(2^— 1)9 4- C0S((7 — 1)9/-

iL i)= — 1 + /2 h/ ^

et en ajoutant toutes ces équations membre h membre :

cos9 4'( - ) + ces 291}; ("•) + ■■■ +cos(7 — i) 941 (--

^— q ( COS9 H — COS29 -+- - cosSffl + •

11 est clair en effet que tous les logarithmes disparaissent dans la sommation, et

que les termes de la forme j cos^y se trouvent une fois chacun, quel que soit le

nombre entier désigné par k; la première équation contenant ceux pour lesquels k est un multiple de q augmenté d'une unité; la seconde, ceux pour lesquels il est de la forme mq + 2, et la dernière, à cause de cos^ 9 = 1, ceux pour lesquels k est un multiple de q.

Mais on a (I, 382)

/(i — 2j;coS9 + x')^ — a (rcos9 H — a:' ces 2 9 + :^.r^cos39+ ■ par conséquent cosçij' ("") + CCS 2 9 4^ (-) + •••+ cos{q — 1)941 ( ) =— 4'(") + - 7/(2 — 2 ces 9).

Si dans cette équation on fait successivement, comme on en a le droit, 9 = w,

ç) = -2 w, . . . , ç = (^ — 1) w, on obtiendra q — i équations du premier degré entre

les inconnues '}(-)' «J/f-)'---? '\i[~ — -) ' ces équations sont faciles à résoudre.

Pour calculer <!'()' il suffira de nniltiplier ces équations respectivement par cospcû, cos2/>M,..., cosfy— i)/?oo, et de les ajouter ensuite en leur adjoignant l'équation (21), dans laquelle on fait ^r = -1 n-=q, remarquant enfin que l'on déduit aisément de la troisième équation (aS)

. I -1- cos/?&)COs/i&) + C0S2ÛW cosi If M +. . . + cos((/ — i)pMCos{q — i)/rf.> =0.

fi désignant un des nombres 1 , 2, 3 q — i, à l'exception de/» et de q—p< pour

lesquelles la somme est - q, on trouve, après avoir divisé par -■,

(24) 'M J 4- 'M t- I =1'\i{l)—?.lq-hC0Spùtl{l — -iC0Srj^)-^C0S2p(,)l{2~9.C0S2rj))-i-...

+ COS(g — l)/;&)/[2 — 2 cos(ç — I )coJ.

Le dernier terme du second membre est égal à cos/>w/(2 — 2cosw), l'avant-dernier à cos>./7w/(2 — 2C0S2w), en sorte que les termes sont égaux deux à deux, excepté le tenue du milieu si q est pair; ce terme

COS - pw / 2 — 2 cos -

est égal à 2/2 ou — 2/2, suivant que/> est pair ou impair.

L'équation (24), jointe à celle que l'on déduit de (20) en y faisant x= ^-,

>5, *(^)-Hf) = "°'f-

permettra de calculer ^(^-r^) ^^ 'M")' '^""^ "" connaît ainsi la somme et la différence.

On trouve de cette manière

Développement en série de la functlon '\[x).