I. Cale. int
mais, en posant x — i dans la formule (40»
et en remplaçant a par 2 a
par conséquent, en retranchant les deux équations (43) et (44) l'une de l'autre,
dot.
et en retranchant (45) de (42)
c'est-à-dire (241)
F( - ) étant connu, on peut obtenir Y{x), en calculant la différence r(a;) — F (-
on a
ce que l'on peut écrire de la manière suivante
■i^+o,(x-iy-^
2 Jo
fi — «* , p
dx,
et, par conséquent (241 ),
Vix)-F(^]=-x--h'--+-(x-^]lxi
(46) lT{x}=lx— ^\lx—x+ - lin -h^(x).
et l'on en déduit
{4?) T[x) = e-'^x' ' \/iTre'°t^'i. ■
Lorsque x est très-grand, e"''' diffère fort peu de l'unité, car on a (298) pour valeur approchée de T{x)
et Ts{x) a par conséquent pour limite zéro.
316. En remplaçant dans l'équation (46) n[x) par sa valeur et remarquant que l'on a
IY[x+ i) = lx-hlT[x),
on trouve
/r(x -^,)=Li^n + ix + -]ix-x+ f^^ (— ' ~-~
Cette formule peut être transformée en une série fort importante dans la théorie qui nous occupe.
On a (I, 413), en désignant comme d'habitude les nombres de Bernoulli par B|, Bo,.. ,
x \ 1 — e~' ac 2/ 1.2 1.2.4.4
0 étant un facteur moindre que l'unité. D'ailleurs
et l'équation (48) donne par conséquent
ir, , , I , / 1 \ , Bi I Bj I- 9B,H
/r(a:4-i)= - /27: — *• + Lr-4- - /.r -f ' » . "-*
2 \ a/ 1.2 ar 3.4^' {2n +i){9.n + 2) x"^'
Celle série présente une particularité extrêmement remarquable. Elle est diver-
gente, et le terme complémentaire augmente sans limite, les fermes de la série augmentant eux-mêmes indéfiniment, comme il est aisé de s'en assurer en remplaçant les nombres de Bernoulli par leurs valeurs approchées (I, 412). Le développement est cependantfort utile et peut servir au calcul numérique de /T (a; + i), parce que le terme complémentaire, quoique très-grand avec n, est extrêmement petit pour des valeurs peu considérables de ce nombre. Soit, par exemple, x = lo, on aura, en se bornant aux trois premiers termes.
aux quatre premiers,
aux cinq premiers,
et aux six premiers,
exact à dix décimales.
/r(ii) = i6, io44i5343o,
/r(l l) := 16, lo44l2565?.,
/r(i i) = 16, io4i i2563i,
Théorème de Bernoulli.
317. Le terme général de développement du binôme [p -t- qY est, comme on
sait,
OU
r(/n-i)r(OT + i)^ ^ '
m et n étant deux nombres entiers dont la somme est égale à p..
Lorsque m, n et [x sont fort grands, le calcul d'un tel terme serait en quelque sorte impossible, même avec l'aide des logarithmes. La substitution des valeurs approchées de chacune des fonctions r donne au contraire un résultat fort simple. En posant
r (|un- 1 ) = e-i^ f/.!* s/T^ ,
la formule devient
e-"n" y/2«7r«~"'m'" sfô^r:
c'est-à-dire, à cause de m + n = p..
n" m" si % nin ^r.
Si l'on pose n = a/x, m = /3^y., a et j3 étant deux fractions dont la somme est l'unité, cette expression devient
