Le rapport d'un terme au précédent est, comme on sait

Le plus grand terme de développement est évidemment celui qui est à la fois plus grand que celui qui le précède et que celui qui le suit; on déterminera donc son rang n par les deux inégalités

q fj^

c'est-à-dire

{tj. + i]q>n{p-hq), {lA-hi)q<:{n + i}{p-

n doit donc être la partie entière du quotient de -{i-i-h i)q par {p + q)\ l'exposant m serait de même la partie entière du quotient — -i et, par conséquent, lorsque |x est très-grand, les exposants ùq p et de q, dans le terme le plus grand, sont à très-peu près dans le rapport même de yo à ^. Si donc on veut que l'expression (49) représente la valeur approchée du plus grand terme, il faut y sup-

= — ^, fi = — - — -, et elle deviendra

poser «

s/ny-s/^p^

319. Lorsque p et q représentent les probabilités de deux événements contraires,- la somme p + q est égale à l'unité, les termes du développement de {p -+- qY représentent les probabilités respectives des diverses combinaisons qui peuvent survenir sur /x épreuves dans la succession des événements considérés. L'événement le plus probable est celui dont la probabilité est représentée par la formule (5o);

c'est celui pour lequel les deux événements arrivent un nombre de fois proportionnel à leurs chances respectives. La probabilité, quoique la plus grande do toutes, tend évidemment vers zéro avec le nombre /ji des épreuves.

320. Les formules d'approximation qui nous occupent permettent d'exprimer simplement la valeur approchée du groupe de termes qui, dans le développement, suivent et précèdent le terme le plus grand, c'est-à-dire la probabilité pour que les nombres d'arrivées des deux événements contraires ne s'écartent pas au delà d'une limite donnée du nombre correspondant au maximum.

Soit

le terme maximum;

D't—kyj m-^-h

le terme placé k rangs avant lui.

On aura approximativement