PI

s/iTi^ sfp \,lq

pp.

h = ik

PU

On a

Supposons p. très-grand par rapport k k'\ on aura, en négligeant ^ ot -^j

h' / i\ If nlr' Iz— 1- « + - 1 j— ,.

PH- \ ^■ipiJ- ■^py'

ou, à cause de n ^^pi-i-,

■^Ij.p \ inj

On trouvera au même ordre d'approximation

'■ql et, à cause de /* + «y = i, la formule (54) devient

<il iT,u. \l p \l q y/aTTp \Jp \lq L \2« 2/h/ J

Le lerme placé à égale distance du terme maximum s'obtiendrait en changeant dans celui-ci k an. — k; leur somme est par conséquent

Si l'on pose

\JiT:[j.sJp^q

iixpq

/i = / \lii).pq.

[J. étant très-grand, la variation d'une unité sur le nombre Â" correspondra à une

variation très-petite de t, égale à La somme des termes compris entre le

\l-3.^pq

plus grand et ceux qui dans un sens ou dans l'autre sont placés à k rangs de lui

pourra être remplacé par l'intégrale

Il Jo

expression très-simple de la somme demandée qui tend vers l'unité (153) lorsque jjL augmente indéfiniment.

Intégrales Eulériennes de première espèce. 321. Legendre a nommé l'intégrale

(,) / xf'-'{\ — x)i-'dx

Jo

intégrale Eulérienne de première espèce. Suivant une notation adoptée par plusieurs auteurs, nous la désignerons par B(/j, q).

La fonction B{p, q) se ramène aisément, nous allons le montrer, aux intégrales de seconde espèce désignées par r.

Remarquons d'abord que B(/?, q) est une fonction symétrique des deux variables p et q. Si l'on pose en effet a; = i — j, l'intégrale (i) devient

et l'on a, par conséquent,

Si l'on pose dans (i)

1 + 2 on a

et par conséquent aussi, à cause de la symétrie démontrée,

(3) Bip,g)=£^j^^dz.

On déduit des formules {2) et (3)

I r'-^ zP-' -^ Z1-' , I r'zP-' + z'i-' , I /""z/'-' + 3î-' ,

Si dans la seconde intégrale, on fait z = -- elle devient

Les deux termes du second membre de (4) sont donc égaux, et l'on a