L'intégrale
Jsin"'-'a: cos""'.* <^x o
se ramène à la fonction Eulérienne. En posant en effet
sin X =y, on trouve
/•î f" ^ dy
(9) / sin'"-'.rcos"-':rrfa: = / y'"-<[j —y^) ■' .
Jo Jo ' \/t—f''
Jo
En faisant m = n, on en déduit
I sin"'-' 237 e?.r = — | s\n'"-'zdz—-
arfm)
LIVRE PREMIEK. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES, et comme on a évidemment, à cause de sin(7t — 2) = sins,
J. siu"""' zdz^^i j sin"'~' z dz, 0 «/ 0
on en conclut
s'in"-' zdz = -„->—'<- 2" r(m)
Mais la formule (9) donne, en faisant n= \,
par conséquent, en remplaçant rf- j par la valeur
- v/Vrr(m),
ce qui s'accorde avec la formule (299), dans laquelle on suppose x — —> n — 2. 325. Les intégrales
I dx, I dx
se ramènent aussi aux intégrales Eulériennes. On a
— =: ( Z"'' €-'■' dz :
r^msft.r , I f" , /•=» , ,
I dx =^ =-, — r I Q,osbx \ c" z"-' dz,
Jo ^" r(«)J„ j,,
et, en changeant l'ordre des intégrations,
/ dx — T. I z" ' dz I e~"cosbxdx,
Jo ^" 1{«)J„ Jo
Jo •^" r(rt)Jo Jo
z""' dz j £-" siii 6.r dx, 0 Jo
c'est-à-dire (138)
I clx = 7^- — - I -j ■ dz,
C^ s\nbx , I C^ bz"-' ,
Mais on déduit de la formule démontrée (144), en posant z^ — b^u,
r^^ z" . Ttb'-'
f TnL — i "^ = ' « compris entre o et I,
*^0 « nr\c
2 ces
ftz"-' , ■Kb"
dz =
° 2sin —
) n compris entre o et 2.
Donc
Tin) rni
, , C^ sin bx , b"-' tt
2sin
La première de ces formules suppose n compris entre o et r et la seconde le suppose compris entre o et 2. Pour toute autre hypothèse les intégrales seraient infinies.
Si dans la formule (i i) on suppose « = i , on a la formule tant de fois démontrée
Jo '
bx , TC
— dx =z -■
En faisant n — -, on trouve les formules déjà obtenues (249)
["^ cosbx , ("^sinbx , /V
Jo \/x Jo s/x V 26
326. Les intégrales (10) et (11) sont comprises dans les expressions plus générales
x^~' e"" cosbx dx,
^i^-i e—'^sinbx dx,
obtenues par Euler de la manière suivante. On a
^-'dx^^^^'
Posons ff.^= a+ b \l — i , il viendra
I e-'^x-"-' [cosbx — \J—i sinbx) dx — -, ' ' . = ' , j^ -.
Jo {a + b^-if [a' + b'f
Soit a = (5 cosC, i = j3sin5, cette formule donne, en séparant la partie réelle de la partie imaginaire,
(12) / e-" cosbx x'--' dx:= -^— co%u.Q,
Jo P''
(i3) / e-" sin bx X''-' dx = — ^sin/y.5,
Si l'on fait a = o, on a 0— - el p = ù.
Jo ' "
I sm bx .r ■'"' dx = —r^ — sin u. - > Jo l^' 2
ce qui, en ayant égard à (295), s'accorde avec les formules (10) et (11] Comme on a
