TT^T— T
^ CCS"-' e sin'^-' g r(«]r((3) i
Si l'on remplace a + cos^C par (a+ i)cos*9 + asin^9 et que l'on pose a-\-i = mk, a= nk, m et n étant deux nombres arbitraires, on trouvera
g ^ n cos-'gsin-^-'e , r(«)r(p) __i
' Jo (mcos'0 4-nsin»ô)'+? r(a + (3) m' n'''
329. Nous terminerons ce chapitre en indiquant une méthode très-élégante due
à Cauchy pour le calcul des intégrales de la forme
(29) J^ ^ÏT, da:,
OÙ m désigne un nombre entier et a et a deux nombres arbitraires dont le premier doit être plus petit que m.
En suivant la marche adoptée (253), mais en ne supposant plus que l'exposant
de - soit entier, on remplacera — ^, par la valeur
~II7 = îTT ; I e-"z'dz.
L'intégrale (29) devient par suite
(30) =-; r / tosiax s'm" X dx i e"" z' dz
= =r r / z'dz j e-" cosioLX sm^x dx.
Mais on a (220), lorsque m est pair.
C0S2aa;sin'"a; == A'" ces (2a — m)x,
et, lorsque m est impair,
( — 1]~=~ cosaa::» sin^x = — A'"sin(2a: — m)x,
la différence étant prise par rapport à a et correspondant à un accroissement égal à l'unité.
On peut, d'après cela, remplacer la formule (3o) par l'expression «équivalente
(3i) — =7 — - — r / z" dz I e-" A" cos(2x — ni]x dx
si m est pair, et
(32) -TT,— ^ ; / z" dz I e-''A'"sin(i(x — m]xdx
si m est impair.
Nous supposerons, pour achever le calcul, m pair et a > — i renvoyant au Mémoire de Cauchy l'étude plus complète du problème [Journal de l'École Polytechnique, t. XVII).
On a évidemment
e-'- A'" cos( 2 a — m) x dx = A'" / e- ''■ cos( la. — m)xdx=^ A" 0 Jo
(aa — m)' 4- z'
et, par conséquent, l'expression (3i) devient, eu remarquant que z" peut entrer sous le signe A'",
2"'r(«-(-i) J„ (2a — mf+2'
dz.
Soit maintenant a = 1 -\-^-, X étant le plus grand nombre entier contenu dans a, les fonctions
et
(2 a— ot)'+ 5»
étant entières, la première lorsque X est pair, et la seconde quand X est impair, on a, dans le premier cas, à cause de m > X,
[7.x — m)'-\- z' (■îoi.— m)''-\- z'
el, dans le second cas.
et par conséquent l'intégrale (29) devient, lorsque X est pair.
et si X est impair.
'-° ^-' . (2a— m)'+' , z" A'", ,..': — .dz.
(34) I z" A'" dz.
