IV
dans le cas contraire, les formules (33) et (34) se réduisent l'une et l'autre à
rtlT
rym-t-l
r(«-f- i)sin
et l'on a par conséquent
. — :^ rf^^(,). ^A'"(2«-«)",
2'"+'r(«4-i)sin^ ' 2
et cette formule suppose seulement que le nombre entier m soit pair et que « soit plus grand que — ■
Soit, par exemple, a = 2, m = a et a == :, » on aura
Jf""cos4^sin^.r , ' V d^ = 0 -3
.6r(|)si„î
A'faa— 2)\
On a, d'après la définition des différences, et a étant égal à 2,
Calcul numérique des intégrales Eulériennes.
330. Soit donnée l'équation d'une courbe rapportée à des coordonnées rectilignes a et y :
les abscisses représentant la variable a et les ordonnées l'intégrale r correspondant à l'argument a.
Si a est positif, la fonction F (a) est également positive; par conséquent la courbe n'a que des ordonnées positives depuis a = o jusqu'à « = ce .
La courbe est formée par deux brancbes infinies dont l'une CN a pour asymptote l'axe des ordonnées et dont l'autre CM a pour asymptote la courbe transcendante dont l'équation est j =(- ) y —•
Le minimum de T{a) a lieu pour a = i,46i632i et est égal à o,8556o32. A partir de ce minimum, si a diminue, la valeur de T{a) augmente et devient infinie pour a = o; si a augmente, la valeur de T {a) augmente également et devient infinie pour « = » .
La Table qui suit donne les logaritbmes vulgaires à sept décimales de l'intégrale r(a) pour toutes les valeurs de l'argument a, depuis a = i jusqu'à a = 2. Comme à l'aide de la formule T{a-{- ï) = aT{a) on peut ramener toutes les intégrales r à des fonctions de même nature dont l'argument soit compris entre i et 2, on pourra évaluer toutes les intégrales Eulériennes de la première et de la seconde espèce, ainsi que toutes les intégrales définies que l'on peut ramener aux fonctions Eulériennes.
Entre les limites a^i et a = 2, la valeur de la fonction T est comprise entre i et o,8556o32; par conséquent les logarithmes de F contenus dans la Table seront négatifs et compris entre o et 9,9/172392.
Tous les logarithmes de la Table correspondent à des ordonnées contenues dans la partie ombrée de la figure; cette partie est comprise entre les ordonnées r(i) et rfa) et forme un quadrilatère mixiiligne ayant trois côtés. égaux entre eux et égaux à l'unité; l'ordonnée BC correspond au minimum de T{a).
La différence première est d'abord négative et va en diminuant depuis 25o3 pour a = i jusqu'à zéro pour a= 1,4616..., puis elle devient positive et va en augmentant jusqu'à a = 2 où elle est égale à i835.
La différence seconde est toujours positive entre a = i et a = 2 et va en diminuant depuis a ^ I où elle est égale à 7 jusqu'à a = 2 où elle est égale à 2 ou 3.
Il en résulte que l'e-rreur provenant de l'interpolation par parties proportionnelles sera au plus d'une unité du septième chiffre décimal.
LIVRE PREMIER. — INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES. Table des logarithmes de Y {a).
Logr(a).
o3io8
.S3oi4
4ioi3
ii5o5
SogCo
6oq52
5ooiq
33oi6
12188 non
oi532
oo5.4
8ooo3
Table des logarithmes de T{a].
Logr(
8ioi5
*oo35.
Il 569
i3So4
83oo9
gSi^i
*oi74o
556oG
oSogS
5io55
»Ol62l
♦o33oo
Application de la Table.
Si l'argument a se trouve exactement dans la Table, celle-ci donne directement le logarithme de l'intégrale.
Par exemple :
logr(i,6i4) = 9,95i 9048 r(i,6i4)=: 0,895 i685
Si l'argument a est compris entre i et 2 et qu'il contienne plus de quatre chil'tVes, on détermine le logarithme de l'intégrale par interpolations par parties proportionnelles.
Par exemple, logr(i,Gi486) :
Ar = 6oi
0,86 X (Joi
donc et
logr(i,6i486)^ 9,951 9565 r(i,6i486) = 0,895 2751.
On voit que l'intervention de la différence seconde ne modilie en rien le résultat. Enfin si l'argument n'est pas compris entre les limites i et 2, on trouve le logarithme au moyen de la formule
Exemple I. On demande r(4,6i4H6) :
o,558 0915 0,417 4485 0,208 1348 9,951 9565 logr{4,6i486)= i,i35 63i3 r( 4,6 1486)= r 3,66568
Exemple II. Ou demande r (0,61486) :
r(i,6i486) = o,6i486xr (0,61486).
logr{i, 61486) := 9,951 9565
logo, 61486 = 9,788 7762
logr (0,6 1 486 ) — ^63 i8o3
Exemple 111. == T'e-»^^»-"' f/;r = ■'^t^*?^ :
logr(.,563)^ 9,949 3344 1,563 X log3 = 0,745 74o5
log2 = g,2o3 5939 5 = 0,159 8063
Exemple IV. z= f x"-'"' [i - cc)''''^ dx =.^^^'^^^^^^4^— Jo r{4,o37)
logr(.,678) = 9,9564825
logr('2,359) ^ 0,082 7446
C'logr( 4,037) = 9,201 58o2
logz = 9,240 8073 z = 0,174 io34
„ -, , tjx.<f:r r(i.2)xr(i,55)
Exemple \ . 2 = ' —
iogr(i,2) = 9.962 9225
Iogr(i,55) = 9,948 8374
C log 1 ,75 = 9,756 9620
(;'logr(i,75) = o,o36 6549
[ûnxj' dx =^ I [cosxj^dx, 0 1 0
— 1 /^r ^^ll^l^^
logy'^TT = 0,248 5749 c log2 = 9,698 9700
iogr(i,i25) = 9,973 9323
Ologr( 1,625) = 0,047 4 '37
logz = 9,968 8909 z = 0,930 8740
Jf2 3
r( 1,5) xr (0,875)
r(i,5jxr(.,875)
iogr(i,5) = 9,947 5441,
logF (1,875) =: 9,979 2960
CMogT,76 = 9,756 9620
C log 1 ,375 =-- 9,861 6973
C'Iogr(i,375) = o,o5i i4o5
legs = 9,596 6407 z = 0,395 039(5
Exemple Vlll. Déterminer la surface totale de la courbe donl l'équation en coordonnées polaires est
p' = sin'o) cos'.>.
Cette courbe présente la forme d'un chiffre 8 incliné, composé de deux boucles parfaitement égales et placées l'une dans le premier, l'autre dans le troisième quadrant; le rayon vecteur atteint son maximum 'a 60 et à 240 degrés.
La partie de la surface d'une courbe comprise entre l'axe polaire et un rayon vecteur quelconque étant déterminée par l'expression
la surface du premier quadrant sera
z=- I sinw^ coso)' t/û par conséquent la surface totale de la courbe sera égale ^ w r (^ j r( |):
On a
iogr(^j =9,957 3211 logr l£j = 9,963 345.
logj = 9,8289087
logaz = 9,744 5749
2 3 = 0,555 36o4 surface totale de la courbe.
