INTÉGRALES PRISES ENTRE DES LIMITES IMAGINAIRES

Définitions .

331. L'introduction des expressions imaginaires dans le calcul intégral est déjà fort ancienne. Euler et Laplace, invoquant seulement la généralité de l'analyse, ont souvent remplacé par des valeurs imaginaires des constantes supposées d'abord réelles, et obtenu ainsi des formules importantes dont la démonstration plus rigoureuse n'était pas parfois sans difficulté. Nous avons rencontré déjà (326) et (240) quelques exemples de ce genre de considérations, en les présentant seulement comme un précieux moyen d'induction. Cette théorie n'a pris une forme rigoureuse que depuis les travaux de Cauchy, où, pour la première fois, le sens précis des intégrales imaginaires a été nettement fixé.

L'extension pure et simple de la définition des intégrales réelles au cas des fonctions et des limites imaginaires conduirait très-souvent à un résultat mal déterminé.

Si l'on pose en effet, comme définition,

(<f'{z]dz = 9(f+ d\j—i)— (^{a -h b v'^^),

le second membre de cette formule représentera en général plusieurs expressions distinctes, entre lesquelles rien n'indique la manière de choisir. On a vu (I, 373) que la plupart des fonctions imaginaires ont, en efl'et, plusieurs valeurs différentes, qui ne peuvent être distinguées qu'en faisant croître la variable d'une manière continue et suivant une loi déterminée.

Ecrivons par exemple

chacun des logarithmes qui forment le second membre est indéterminé, et l'on peut ajouter à l'intégrale, définie de cette manière, un multiple arbitraire de

arr \/— i • Une remarque semblable s'applique à l'équation

-^ = sjc -+- d \j— \ — \!a -irb y/— I ,

dont le second membre représente quatre valeurs entre lesquelles on reste indécis. L'indétermination, il est vrai, ne se présente pas toujours. On a, par exemple.

e^'-dz = — Te'" '<■+'' v'-''— e»''"^-W-'' 1,

et le second membre est parfaitement déterminé; mais de tels cas sont exceptionnels, et une définition générale et précise est indispensable.

332. Poisson, dans un Mémoire publié en i8ii, avait rencontré cette difficulté et fait un pas vers la solution. En appliquant à l'intégrale définie

J-, ^' la formule générale qui sert de définition, il avait trouvé

et cependant l'élément — ;- est constamment positif!

/(/ji: — „,' dans la-

quelle m est un nombre pair. En calculant de même / - ; les éléments passent,

dit-il, du positif au négaiif et les parties infinies peuvent se détruire; mais alors il semblerait que l'intégrale devrait être nulle, et, au contraire, elle est égale à la quantité imaginaire /(— i); ce logarithme a, comme on sait, une infinité de valeurs comprises sous la forme (2«-i- i) tî V — i. «étant un nombre entier positif ou négatif, et :r représentant toujours le rapport de la circonférence au diamètre. On ne voit pas d'abord, dit Poisson, comment la somme des éléments qui sont tous réels peut avoir plusieurs valeurs, et encore moins comment ces valeurs sont imaginaires.

Nous avons rencontré la même difficulté (4), et pour l'écarter, il nous a suffi de remarquer que la définition des intégrales définies considérées comme sommes de leurs éléments, suppose essentiellement que ceux-ci ne deviennent pas infinis,

el que, par conséquent, les formules employées ne sont pas applicables aux cas

dont il s'agit.

Poisson ne s'en tient pas à cette raison sommaire qui supprime la difficulté. f{x) étant la dérivée de F(a;), on a, dit-il,

dx—Y[b) — Y{u).

Dès la naissance du calcul intégral on a regardé l'intégrale définie comme exprimant la somme des valeurs de la différentielle et ces valeurs comme les éléments de l'intégrale; et c'est pour cette raison que l'on a indiqué les intégrales par la

lettre i » initiale du mot somme. Depuis, on a senti que celte notion de l'intégrale

était un véritable théorème qui a besoin d'être démontré. On prouve donc maintenant, dans le calcul intégral, que la quantité F(è) — F(a) est la somme des valeurs de f[x)dx, lorsque x va de a' = a à x = b par degrés infiniment petils, chacun de ces degrés étant exprimé par dx. Cette proposition a lieu quels que soient les changements de signe de f{x)dx entre les limites a et h. Elle subsiste aussi lors même que celte différentielle passe par des valeurs imaginaires ; mais la démonstration qu'on en donne suppose essentiellement qu'entre les mêmes limites,/(a;) demeure une quantité finie, et quand, au contraire, elle passe une ou plusieurs fois par l'infini, il y a des cas dans lesquels cette proposition cesse d'avoir lieu. Dans ces sortes de cas, l'intégrale définie n'a plus aucun rapport nécessaire avec la somme des valeurs de la différentielle comme le prouvent les exemples cités

plus haut, dej ^, j —■

Nous allons faire voir, ajoute Poisson, que l'on peut ramener ces cas d'exception à la notion ordinaire des intégrales regardées comme les sommes de leurs éléments, ce qui fera disparaître l'espèce d'anomalie qu'elles présentent.

Il suffit, pour cela, de faire en sorte que la variable x passe de la limite « à la limite b par une série de valeurs imaginaires. Alors f[x) ne deviendra plus infinie pour aucune de ces valeurs intermédiaires, et l'intégrale définie reprendra sa

/dx — ■■ prise depuis

x^= — \ jusqu'à a; = + I , je fais

X =: — (cosz -I- v'^i sin^),

et j'intègre par rapport à z, depuis 3 = 0 jusqu'à ;;=(2rt+i)7T, n étant un nombre entier quelconque positif ou négatif. Les valeurs extrêmes de x seront toujours

mais en allant d'une limite à l'autre, cette variable ne passera plus par la valeur

■r = o, qui rendait infinie la quantité -• Nous aurons alors

dx =: (sin2 — v' — 1COS2) dz ^^— y/— i (cosz + \l—i'imz)dz, j ~ =j sl^^idz = z v'— 7+ c,

et l'intégrale définie

J—i "■ Jo

fj— I dz ={-2n-i- i)Tl y^ 1

Ce passage très-remarquable de Poisson contient la définition précise des intégrales imaginaires, qui ont joué depuis un rôle si important; mais satisfait d'avoir écarté une difficulté singulière qui l'avait un instant étonoé, il n'a suivi aucune des conséquences de son ingénieuse explication, en laissant à Cauchy l'honneur de créer la théorie nouvelle.

333. La définition de Cauchy est conforme à celle de Poisson. L'intégrale

^{z)dz

est la limite de la somme des valeurs que prend la différentielle o{z)dz, lorsque z passe àe a-+- b \J— 1 à c + d\/ — i , en recevant des valeurs intermédiaires qui se succèdent suivant une loi continue. C'est précisément d'ailleurs, on le voit, la définition donnée pour les intégrales réelles, lorsque la variable, sans cesser d'être réelle, passe de la limite inférieure à la limite supérieure. On voit que l'intégrale change de signe, comme dans le cas des limites réelles, lorsque, les deux limites se changeant l'une dans l'autre, la série des valeurs intermédiaires reste la même, et est représentée par la même courbe parcourue en sens inverse.

Mais sous l'identité apparente des deux définitions, subsiste une différence essentielle : lorsque z passe de la valeur réelle a à la valeur réelle b, les valeurs intermédiaires réelles qu'elle doit prendre sont entièrement déterminées; il n'en est pas de même lorsqu'une variable imaginaire doit passer de la valeur initiale a-h b \/— i à la valeur finale c -h d\/— 1 . Les expressions imaginaires étant représentées, comme on l'a dit, par les points d'un plan, si P et Q sont les points correspondants aux limites de l'intégrale, on peut les réunir par une courbe quelconque et attribuer successivement à 2 les valeurs représentées par les points de cette courbe, dont la orme arbitraire introduit dans la définition une indétermination réelle, mais beau-

coup moindre cependant que l'on ne serait porté à le croire à première vue. Si la courbe, en effet, se déforme d'une manière continue en conservant les mêmes points extrêmes qui représentent les limites données, l'intégrale ne varie pas continuellement'avec elle, et c'est seulement lorsque la courbe franchit certains points particuliers, nomméa points critiques, qu'elle change brusquement de valeur.