Considérons, en effet, l'intégrale

o{z)dz.

Si la définition de (p{z) la rend susceptible de plusieurs valeurs, on doit se donner celle qui correspond au point P, et la loi de continuité suffit alors, comme on l'a expliqué (I, 373), pour déterminer celles que prend ensuite successivement la fonction. Soit

(p{x -+- Jv'— i) = M -4- N v'— I ,

M et N étant des fonctions données (\ex etdej. On aura, en posant z = .x -hy\/— t,

(p(z ) rfz r= (m -(- N sf^) {dx-hdx sj—lj = Mdx — Nrfj + s/— ^ [Mdf -h Nrf.r ), et ( I ) f(s{z)dz— f{yidx — Nrfj^ -4- y'— Y f{Mdx-h ^dx).

ILa lettre j représente, dans le second membre, une fonction arbitraire de x, et la j courbe dont les points ont pour coordonnées les valeurs successives de x et de r ■ est entièrement arbitraire; les points extrêmes seuls sont donnés par les limites

de l'intégrale j (p{z)dz. Supposons que cette courbe, le long de laquelle on intègre,

se déplace infiniment peu, et que la fonction y subisse un petit changement et devienne j-hj, ,j, étant nul aux deux limites, le second membre de (i) changera de forme; mais nous allons prouver qu'en général \\ ne change pas de valeur. En désignant parj' la dérivée de y, le second membre de (i) peut s'écrire

) j(M — 'N/)dx-h)J—il{Mx'+'H)dx.

Si l'on remplace j parj^ j,, r, étant infiniment petit, l'accroissement de 2) est [évidemment

I,,. r/du rfN , ■ ,\ , , — r/dM , „ , rfN \ ,

29(î DEUXIÈIME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL,

mais on a, j étant une fonction de x.

j N j', dx = N r, — / r, ( ^i- + "j^ j' ) (fr,

rfN d^ dx dy ■

JMy\ dx -^ Mj, - J j-, ^-^- + j^ r'^ dx,

et l'expression (3) devient, en remarquant quej, est nul aux deux limiles,

C ;dM û?N\ , r- r /^N dM\ ,

et comme on a (I, 360)

dM ^ . d]^d]^ dy dx ' dy dx '

on voit que le changement de l'intégrale (2) est égal à zéro.

Plusieurs remarques sont nécessaires. En calculant le changement de l'intégrale (2), nous avons négligé les infiniment petits du second ordre, et par conséquent la démonstration précédente prouve seulement que j recevant une variation infiniment petite du premier ordre, la variation correspondante de l'intégrale (2) est du se'cond ordre, tout au plus. Mais on sait qu'alors (I, 2) cette variation est rigoureusement nulle, et qu'un changement fini apporté à la fonction j n'en peut apporter aucun dans l'intégrale.

La démonstration reste soumise cependant à une restriction importante; elle suppose évidemment la continuité des fonctions M etN, et par conséquent celle de la fonction <p(z). S'il en était autrement le résultat ne serait plus exact, et l'intégrale

I (p[z)dz pourrait changer de valeur. Si donc la courbe qui dirige l'intégration se

déforme d'une manière continue, l'intégrale reste, en général, invariable; mais il peut arriver qu'elle change brusquement de valeur si la fonction ç(z) devient infinie ou acquiert plusieurs valeurs égales pour une certaine valeur de z, lorsque la courbe le long de laquelle on intègre, en se déformant d'une manière continue, franchit le point qui correspond à cette valeur de z.

335. Le théorème précédent servant de base à toute la théorie, il ne sera pas superflu d'en donner une seconde démonstration, qui conduira d'ailleurs à des conséquences un peu plus étendues.

Considérons sur le plan un contour fermé quelconque AMPA, et une fonction

continue f[z) déterminée pour chaque valeur de la variable z, représentée par un point intérieur au contour. Je dis que l'intégrale l(D{z)dz étendue à la circonférence AMP est égale à zéro.

Soit, comme plus haut,

Décomposons la surface AMPA en éléments infiniment petits, compris entre dos parallèles aux axes des coordonnées; multiplions chaque élément dxdy par

, ' dy dx ^ \ dx dy j

La somme des produits ainsi obtenus, c'est-à-dire

est évidemment nulle en vertu des deux équations (I, 360)

dm dti

dy dx dM </N

dx dy On peut décomposer la première intégrale de la manière suivante :

dM

mais on a

fj'^dxdy-^jf'^dxdy;

En supposant que, pour la valeur considérée de œ, la parallèle à l'axe des}' coupe le contour aux points 1, 2, 3, 4. et nommant M,, M.,, Mj, M^ les valeurs de M qui y correspondent, on aura

du

-rfj =:M.-M,+ M,-M,,