I. Cale. int
et par conséquent
mais si l'on étend l'intégrale I Mdcc hlâ circonférence entière du contour APMA,
on verra que pour une même valeur de dx, cette intégrale comprend précisément les quatre éléments M4c/ir, — Msdx, M.,dx, — M^dx, en sorte que l'équation peut s'écrire
l'intégration étant étendue au contour entier. On verra, de même, que
JJ'^dxdy^-f^dr,
j f^dxdr=f^dx; et par conséquent l'expression (4) qui est nulle se réduit à l'intégrale
{Mdx — Nûfj) + v'^ [{Mdf -+-^dx),
c'est-à-dire à jf{z)dz étendue à la circonférence du contour proposé.
La démonstration suppose, il ne faut pas l'oublier, que la fonction o(z) soit finie, continue et bien déterminée par les points qui correspondent à l'intérieur du contour.
336. Le résultat précédent" ne diffère pas essentiellement de celui que nous avons démontré (334). Si l'on considère en effet deux lignes AMB, ANB, réunissant
les points A et B, l'intégrale j(p{z)dz, prise le long du cliemiii AMB, sera égale
et de signe contraire à la même intégrale prise le long du .chemin BIMA , et par conséquent l'intégrale prise pour lo contour entier ANBMA est égale à la différence des deux intégrales prises le long de ANB et de AMB; cette différence est donc égale à zéro et les deux intégrales sont égales, comme nous l'avions prouvé (334;.
337. Les deux démonstrations supposent essentiellement que, dans l'intérieur du contour considéré ou dans l'espace contenu entre les deux chemins qui dirigent l'intégration, la fonction (p{z) soit finie et continue. Si cette condition n'est pas remplie, le théorème cesse d'être exact, ainsi que nous pouvons dès à présent nous en assurer sur un exemple fort simple.
Soit
Calculons l'intégrale / -^ autour d'un cercle de rayon B, ayant pour centre l'ori-
gine des coordonnées. C'est l'exemple choisi par Poisson (332). Les coordonnées d'un point de ce cercle sont
et l'on a
x=^ Rcos(j/, j = Rsincp;
ar + j v'~ ' = ^ l cos cp + y/ — I sin 9 j ,
Jz = R ( — sin 9 4- v/— I cos<p ) (/9,
dz </9(-siny + v/— 1COS9) __ ,— ^, ^ ( COS9 + y/—! siny)
Si l'on parcourt la circonférence de cercle dans le sens où les valeurs de 9 sont croissantes, ç varie de zéro à in, et l'on a par conséquent
dz
valeur différente de zéro, et le théorème démontré (335) se trouve en défaut, parce que la fonction - devient infinie pour 5=0.
338. Supposons en second lieu 'p(z) = —, et cherchons l'intégrale
En étendant l'intégration à la circonférence de cercle de rayon R, décrit de l'origine comme centre, on aura
z = R(cos9 -(- v^i sin^), v'2; = v'tt ( cos 2 -1- ^/. I sin - 1 5
rfz = R(— sino 4- \/— I CCS 9)*/ 9 = Ry''— i ^coso 4- y^— i sin9)f/9, dz
= =:^R i/— I (ces ' -+■ \—i s\n-]do,
dz I — / r -
— rz = yR y — I ! l'a sinr — ■>. sino) — ay ~
-I (ces- — roso)j = — 4 yR;
et le théorème est ici en défaut, non plus parce que la fonction intégrée devient infinie, mais (I, 375) parce qu'elle n'est pas et ne peut pas être bien déterminée dans l'intérieur du contour.
339. Lorsque la fonction ^(z) n'est pas continue, finie et déterminée dans l'intérieur du contour considéré, on peut quelquefois la rendre telle en entourant chaque point critique d'un contour fermé, et adjoignant alors la circonférence de chacun de ces contours a celle de la figure primitive.
Soit par exemple le contour KMN, dans l'intérieur duquel se trouvent, pour
la fonction ^[z), deux points critiques A et B. Entourons ces points par les contours PQR, STU, et l'intégrale r(p(z) </z, prise le long des trois contours KMN, PQR,
STU, parcourus dans le sens indiqué par les flèches, sera dans le cas supposé égale à zéro. Il suffit, pour le démontrer, de réunir chacun des contours intérieurs à la circonférence KMN, par deux traits parallèles infinimenl voisins a, (5,, u.^ fi.,, y, (?,,
'/jcJ'j. On peut alors considérer le contour continu «n'S.PQRj'BsaoyiO*, STUo^Val^lNa, comme renfermant une portion déterminée du plan, dans l'intérieur de laquelle
ne se Irouve aucun point critique. L'intégrale / 'f{z)dz, prise le long de ce contour, est donc égale à zéro; mais les éléments relatifs à a,/3,, /S^^o, 7, 5,, cJ'o 70 se détruisent évidemment, et le théorème est par conséquent démontré.
340. Nous pouvons, dès à présent, justifier parles considérations précédentes quelques démonstrations dans lesquelles les intégrales imaginaires ont souvent été introduites sans examen suffisant.
Nous avons trouvé 153
Si dans cette formule on pose
elle devient
c'est-à-dire
et par conséquent
(cosaaar — y — 1 sin23;.rj dx =: \^t:,
e~'' cos "ixx dx ;= e~""' y';:,
e~'' sin % oLX dx = o.
Ces formules sont-elles sulfisamment démontrées?
Pour nous en assurer, remarquons que supposer z = x -^a\^—\, puis faire varier a; de — 00 à -f- 00 , c'est tout simplement faire mouvoir le point représenté par z sur la parallèle à l'axe des X menée à la dislance a; et qu'en admettant la transformation de l'intégrale- (5), où z est réelle, en l'expression (6), nous
admettons simplement que l'intégrale / e-^'rfz reste la même lorsque l'on dirige
l'intégration suivant l'ime ou l'autre des lignes indéfinies — XX, — PP. Or il est clair que si l'on adjoint à ces lignes deux parallèles à l'axe des 7, situées de part
et d'autre a une dislance infinie, on obtiendra un contour fermé, dans l'intérieur
duquel la fonction e~"' est continue et bien déterminée. L'intégrale totale. relative à
ce contour est donc nulle, mais les portions relatives aux deux parallèles à l'axe des j sont évidemment nulles; car en posant
on a
: 2.i-,r,v 'e-^'^=^e ■*'"'"•''' (cosîXij, — v'—i sinax.j,),
qui est évidemment nulle lorsque, a-, étant infini, j, est compris entre o et a. On peut donc dire que l'intégrale relative à —XX, ajoutée à celle relative à — PP, donne une somme nulle, et que par conséquent les deux intégrales relatives à — XX et à — PP sont égales entre elles.
