Dans l'intégrale

supposons

nous aurons

e—-' (h = - v/tt,

= u y/ — I = jt 1 CCS y -H v'— I sin -^

(8) / e \ - ^ ««( cos -^ + V — I sm -^

/ e-"'-y'~' duii-h v/^) ~ = - v/tt ;

d'où, en remplaçant e""'^"' par cosu^ — \/ — i sinw^, nous conclurons

%j . cos«-'</« = ^^

Cotte démonstration manque évidemment de rigueur, est-il possible de la rendre exacte?

Remarquons, pour nous en assurer, qu'en posant

■ X -hy y/— I = M ( ces T -+■ y/— I sin j

on a

X= U CCS -, )

X— MSin y-,

et par conséquent le point dont les coordonnées sont ce et y décrit une ligue droite issue de l'origine, et inclinée à 45 degrés sur l'axe desX.

Transformer l'intégrale (7) en (8), c'est donc admettre que l'intégrale prise le long de OP soit égale à celle prise le long de OX. Si du point 0 comme centre, avec un rayon infiniment grand, on décrit un arc de cercle PX, on verra (334) que l'intégrale prise le long de OPX est égale à celle prise le long de OX; car, pour tous les points du plan la fonction e'^' est continue et bien déterminée. Or on a pour un point de PX, en nommant R le rayon OP,

2 = a; -hj-^—i = R (coso + ^--i sin 9),

et comme le produit ^e~^ ''"*^''' est infiniment petit lorsque R devient infini, pour

toutes les valeurs de f comprises entre o et ji l'intégrale prise le long de XP est

nulle. La transformation se trouve donc légitime à cause de deux circonstances fortuites en quelque sorte, et auxquelles on n'avait nullement songé en la faisant.

30i DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.