Considérons enfin la formule
e-'z''-'dz = T{n).
Nous avons posé (326)
z = {x + p y/— 0 M, et elle est devenue
(lo) j e-''+Pv'=''«(« + (3 v/^)"«'-'(/m = !'(«),
c'est-à-dire, en posant
« = pcos9,
(3 = psinÔ,
J'^ GO "P / fï 1 e-'" (cos^M — y/— I sin^w) m"-' «?« = — .J » 0 p" (cosnô + v'""' sinn6j
d'où l'on a conclu
(il) I e '"cos|3m?<"^'«m = — ^^ — ^-^ ,
Jo P
/•".„,, r(n)sin«Ô (12) / e-'" s\n ^ u H"-' du — ——'-^^ ;
OÙ H désigne un nombre positif" quelconque entier ou fractionnaire. Pour savoir si la transformation est légitime, remarquons qu'en posant
z = ^ + X^—i = (a + (3 v^— i) u = pu (cosO 4- y/— isin(9),
le point dont les coordonnées sont a; et jest assujetti à parcourir une ligne droite partant de l'origine, et faisant avec l'axe des X un angle 6.
Soit OP cette ligne. Notre transformation revient à admettre que l'inlégiale prise le long de OP est égale à celle prise le long de OX; il sulfit, comme dans le cas précédent, que l'intégrale prise le long d'un arc de cercle PX, de rayon infiniment grand, qui réunit les deux lignes .soit égale à zéro; or sur les points de cet arc on a
a: = R feos^ + V*— ' sin»), et la différentielle à intégrer contient le facteur e-'^<">^ï qui la rend nulle lorsque R est infini, pourvu que 0, qui est la limite de ip, soit inférieur à -> c'est-à-dire pourvu que a et j3 soient positifs.
Variation brusque d'une intégrale imaginaire.
343. Cherchons la variation de l'intégrale j(p{z)dz lorsque, les limites restant
les mêmes, la courbe le long de laquelle on intègre franchit, en se déformant, un point auquel correspond pour 9(5) une valeur infinie. Soit A ce point; comparons
les valeurs de l'intégrale / 9(2) dz, prises successivement le long des contours PMQ,
PM'Q, qui comprennent entre eux le point critique A.
Considérons les deux chemins PIKI'Q et PIK'I'Q, qui réunissent l'un et l'autre les points extrêmes P et Q en présentant deux parties communes PI, l'Q, et ne diffé-
rant l'un de l'autre qu'en ce que, dans le premier chemin ces deux parties sont réunies parla demi-circonférence infiniment petite IKl'qui a son centre en A, et qui se trouve remplacée dans le second par l'autre moitié IKT de la même circonférence.
L'intégrale prise le long du chemin PMQ est la même que le long du chemin PIKI'Q, car le premier peut se déformer et coïndider avec le second sans traverser le point A. De même l'intégrale prise le long de PM'Q est égale à celle qui correspond au chemin PIK'I'Q; la variation cherchée est donc la différence entre les valeurs de l'intégrale lf{z)dz, prise le long des chemins PIKI'Q. PIK'I'Q. Ces deux
chemins ont les parties communes PI, l'Q; si donc la fonction ip(z) ne change pas de forme quand on passe de l'un a l'autre, les deux intégrales ne diffèrent que par la substitution de la partie relative à IKI' à celle relative à IKT; et comme les intégrales relatives à une même ligne parcourue dans les deux sens sont évidemment égales et de signes contraires, cette différence est la somme des valeurs de
l'intégrale 1 ç(z)rfz prise le long de ces deux demi-circonférences parcourues
successivement dans le même sens, c'est-à-dire tout autour du cercle infiniment petit IKT K. ^
344. On peut, dans un cas très-général, calculer cette intégrale qui, d'après les explications qui précèdent, représente le changement brusque de j(f{z)dz.
