I. Cale. int

Soient en effet a et ]3 les coordonnées du point A, et par conséquent a + j3 y/— i la valeur de z qui rend (f{z) infinie. Supposons qu'il existe un nombre entier n tel, que le produit

(2 a(3yCr7)»<p(2)

ne soit ni nul ni infini quand on y suppose z — a -f- |3 v^ — i ; posons

et admettons enfin que F(2) soit développable en série ordonnée suivant les puissances de z —a — /3 v'— i , en sorte que l'on ait

on en conclut

I (f{z}dz = A„ l ^ — , . + A, I -, , ,, , +... ,

toutes les intégrales étant supposées prises autour du cercle infiniment petit décrit du point A comme centre. Toutes celles dont l'élément ne contient pas z — a — |3 \/— I en dénominateur sont évidemment iufiniment petites, car la différentielle ne devient pas infinie. Bornons-nous donc à calculer les intégrales de la forme

r dz

En nommant (5 le rayon du cercle, la valeur de z relative à l'un des points du cercle est évidemment

^ = a + (3 ^— I + p (coscp -f- \/—i sinip),

et pour faire décrire au point correspondant la circonférence du cercle, il faut faire varier y de zéro a zn; l'intégrale est donc égale à

/"" p(-sincp4- v/— icosç) , I f^" , — r^^,. ^ . . ,, ^ -, ,

Jg p*(cos9 4- V— ' smtpj P Jo

Lorsque k est différent de l'unité, cette intégrale est nulle, mais, en supposant

LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES. ^•= 1 , elle se réduit à

On a donc

^— I d<f == 27ry' — I.

A„, étant le coefficient de

dans le développement de la fonction

f{z), c'est-à-dire (I, 434) le résidu de ç(z) relatif à a + P V— i-

Si le point qui représente z parcourait la circonférence en sens inverse, l'intégrale (i) serait égale à — arry — i. Dans chaque application du théorème précédent, il faut tenir compte de cette remarque en examinant dans quel sens doit se faire l'intégration qui représente la différence cherchée.

345. Nous avons exclu, dans la démonstration précédente, le cas où le contour qui dirige l'intégration passe par l'un des points critiques pour lesquels la fonction est infinie. L'intégrale, dans ce cas, n'a pas en général de valeur déterminée, Cauchy y applique néanmoins ses théorèmes en remplaçant l'intégrale par la valeur qu'il a nommée (130) la valeur principale.

Soit 0 le point critique; la valeur principale de l'intégrale prise le long du contour POQ est, d'après la définition de Gauchy, la limite de la somme des deux

intégrales prises le long de PI et le long de l'Q, lorsque les arcs égaux 10, 01' décroissent indéfiniment. Elle diffère donc de l'intégrale prise le long du contour PIMI'Q par l'intégrale prise sur la demi-circonférence IMI', c'est-à-dire (344j nA y/— I, moitié de la variation totale 2nA\J— i, qui se produit quand le contour en se déformant traverse le point critique.

Détermination de quelques intégrales définies. 346. Considérons, pour appliquer les résultats précédents, la différentielle

e-V-' dz

où a désigne un nomhre réel et positif.

Intégrons d'abord entre les limites £ = — co, 3 = 4-co, le long d'un cercle de

rayon infiniment grand ayant pour centre l'origine des coordonnées. Il faut poser

a: = Rcos<p, j=Rsin<p,

et faire varier <p de la valeur rr à la valeur zéro. L'intégrale sera

OgflR cosjjV'- I g— «R sinp p ^^Y (

COStp

6' -4- R'(cos29 + v'— I sinaç;

a étant positif ainsi que sinip, l'exponentielle e—"'^'*'"? devient nulle pour les valeurs infiniment grandes de R. Le module du produit des fractions qui le multiplient n'étant pas infini, l'intégrale est évidemment nulle.

L'intégrale prise pour les valeurs réelles de z, c'est-à-dire le long de l'axe des X, est égale par conséquent à l'intégrale prise autour du cercle infiniment petit décrit autour du point qui correspond à la valeur

pour laquelle la différentielle est infinie. Or on a

le résidu correspondant à la valeur b \f^ i de z est ici

LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES, et l'intégrale égale (344) à 271A \i— i est

Vf-'

On a donc

et, en séparant clans le premier membre la partie réelle ot la partie imaginaire.

cosaz

sin«j

b'-hJ'

dz =: O.

La seconde de ces formules est évidente et la première a élé démontrée (250). 347. Considérons en second lieu la différentielle

dz,

on verra, comme dans le cas précédent, que a étant positif l'intégrale est nulle le long de la demi-circonférence de rayon infiniment grand décrite de l'origine comme centre et du côté des j positifs. Si l'on intègre le long de l'axe des X, en remplaçant seulement par une demi-circonférence infiniment petite la partie qui contient le point critique placé à l'origine, on aura donc le même résultat, et l'on peut écrire

gaiy^-l

dx ■

dx = o.

Remplaçons dans la première et la troisième intégrale e"-^^-' par la valeur cosax + \/ — I amojc; remarquons que les deux intégrales réelles sont évidemment