nax ,., , ■ p
égales et de signes contraires, et que n étant pas iniini avec x, la suppres-
/c J ri /TT -p dx le long du diamètre infiniment petit AB est insignifiante, et nous aurons
tn\ -■ / — r^^ slnax , /•AMB^^.^rr
Mais pour les points du cercle AMB on peut écrire e"''v'-' = i, et par conséquent (334j
/AMB „,./i:i -—— c/z = -;rv'-i;
donc enfin
/•* sin<
comme il a été précédemment trouvé.
348. La méthode précédente, qui est extrêmement féconde, constitue une des belles découvertes de Cauchy. Donnons-en encore une application.
Considérons la différentielle -— ^ .- » a désignant un nombre positif moindre que
l'unité. La valeur initiale de z étant réelle et infiniment grande — R, prenons
(— R)''-' = R'"-' [cos(a — i)7r H- y/— isin(a — i)7i:J,
R""' étant réel. Si le contour suivi ne pénètre pas au-dessous de l'axe des x, on verra aisément que, pour les valeurs réelles et positives de ;;, z"-* sera réel.
L'intégrale prise le long de la demi-circonférence de rayon infiniment grand R sera, cette fois encore, égale à zéro.
La différentielle présente deux points critiques qui correspondent à z = — i et à z = o, mais il nous sera inutile d'avoir égard au second qui ne sera pas franchi, parce que l'intégrale relative à un demi-cercle infiniment petit qui serait décrit autour de lui pour l'éviter est évidemment infiniment petite. Le demi-cercle de rayon infini peut donc être réduit à l'axe des X, dont une portion infiniment petite seulement sera renijdacée par un demi-cercle décrit autour du point dont l'abscisse est — I .
L'intégrale
dz.
prise le long de la ligne — XAMBX, qui se compose de la portion XA de l'axe
des X, du demi-cercle infiniment petit AMB décrit autour du point dont l'abscisse est — I et de la ligne BX prolongée jusqu'à un point infiniment éloigné X, est donc aussi égale à zéro, et l'on a
/ dx 4- / — ; — dz -+- I dx + \ - dx = o.
Si dans les intégrales / et 1 on remplace x qui est négatif par —x, et af-* par
j^-'[cos(a — i)7r-t- y/— I sm(a — i)7r],
la somme de ces intégrales prendra la forme
A-[cos(a — 1)77 -t- v'— I sin{a — i)?:],
k étant un facteur réel que nous n'avons pas besoin de connaître. L'intégrale
