AMB „

/ - — dz J 1 + 2 est égale (345) à

— TT sj—i [cos(a — 1)7: -1- v^— i sin(a— 1)7:], et l'on a par conséquent

{i3) A- [cos(a — i)7r H- ^— i sin(a — i)7r]

— ■K V—' Lcos(a— i)7r-t- V— I sin(a— i);:! + / dx = o.

Jo '+^

Multiplions par [cos( — a?:) + \/ — i sin( — arr)], il viendra

— k + t: \/—i + icos(— an) -h \/—i sin{— ai:)} I dx = o,

Jo ^+^

et, en égalant les parties réelles et les coefficients de \J — i,

/ aX = -; ,

Jo \ -h X sinaT:

, COSaTT

Ar + TT -. = o.

sinoTr

tangaîr' k est, on le voit aisément, la valeur principale (130) de l'intégrale infinie

I ax = I dx.

Nombre des racines d'une équation dans l'intérieur d'un contour donné.

349. Soit f{z) une fonction bien définie de la variable z qui devienne infinie pour n valeurs de z correspondant aux points A,, Aj,..., A„ intérieurs au contour

fermé MNP. On a vu (339) que si l'on calcule l'intégrale l o{z)dz le long du

contour MNP, puis le long de n contours' de forme et de dimensions arbitraires décrits autour de chacun des points A,, Aa,..., A„ et n'en contenant chacun qu'un seul, la somme de toutes ces intégrales sera nulle, pourvu que les contours intérieurs soient parcourus, comme l'indiquent les flèches de la figure, dans un sens opposé à celui du contour total qui les contient.

Les intégrales relatives à deux contours parcourus en sens opposé étant égales et de signes contraires, on peut énoncer le théorème en disant que l'intégrale relative au contour MNP est égale à la somme des intégrales relatives aux contours intérieurs pris dans le même sens que lui.

=— - dz, ¥{z) étant le premier membre

do l'équalion

(loiit nous voulons compter les racines et que nous supposerons seulement bien déterminée, finie et continue ainsi que sa dérivée pour toute valeur de z. Les seuls

points pour lesquels la fonction =— peut devenir infinie sont ceux qui correspondent aux racines de F{z) = o, et réciproquement à chaque racine correspond un tel point. Soit en effet z = « + |3\/^i une racine de degré de multiplicité p, c est-à-dire supposons que l'on ait

cp{z) étant une fonction finie et continue, ainsi que sa dérivée, pour la valeur z=.7.-\-^^ — I, nous aurons

W{z)=p{z - a - (3 sT—^Y'" <p(z) H- (z - a - f3 sf^i)'' <f' [z),

et, en divisant le premier membre par ^{z) et le second par le produit qui lui est égal,

Pour oalculer l'intégrale autour d'un cercle infiniment petit ayant pour centre le point qui correspond à z = c< + (3 \j — i , on peut négliger la fonction -?~-~ qui

est finie, et l'intégrale est par conséquent (344) égale à inp \f— i ; la somme des intégrales prises le long des petits cercles qui entourent les points correspondants

aux racines est par conséquent égale au produit de 271 yj— i par le nombre total des racines, dans lequel la racine de degré de multiplicité /j est comptée/? fois; et par conséquent enfin le nombre des racines correspondant à des points intérieurs au contour est représenté par

l'intégrale étant prise. le long du contour.MNP.

Pour faire usage de ce tliéorème très-remarquable dû à Caucliy, il nous reste à examiner le moyen de calculer cette intégrale.

On a

'F'fzl

et en posant

F(z) = P + Qs/^,

/F(z)=-/(P'-+-Q')-f- V—' arctang^-

[, Cale. iiil. /|0

Le terme - /(P'+ Q^) étant bien déterminé pour chaque point du contour, et

reprenant la même valeur après un tour accompli, donnera évidemment zéro

pour résultat. Pour calculer la portion de l'intégrale qui correspond au terme

v/— I arc tang^5 partageons le contour total en un certain nombre d'arcs dans

l'intérieur de chacun desquels ^^ ne devienne pas infini, eu prenant pour points de

division ceux pour lesquels on a Q = o. p. 5 dans chacun de ces intervalles, passera

de+ooà+co, de — ooà — 00, de — ooà+oooude+coà — qo; dans les

deux premiers cas, l'accroissement de arc tang^ est évidemment nul; il estn dans

le troisième et — tt dans le quatrième. La moitié de l'excès du nombre des arcs de la troisième espèce sur ceux de la quatrième représente donc le nombre des racines.

350. Supposons, par exemple, que le contour soit un cercle de rayon infiniment grand p décrit de l'origine comme centre, et soit

F{z) = z"'-hA.,z"'-'-h\,z'"-^+. . . + A„,

A,, A2 A„ étant des constantes réelles.

On a

p =: p"'COS/«C.J -+- A,p"'-'cos(/?i— i)w+... + A,„,

Q = p^sinww -f A.p"-' sin(m — i) w +. . . + Am ipsinw,

et p étant infiniment grand, les deux seconds membres peuvent être réduits à

leurs premiers termes, et par conséquent Q est nul pour les valeurs de w infiniment

j-cc . 1 7:27: m ■ — t (ini — i) ,,, ..

peu diiierentes de o, — > -,■ ••, n,. .., -n; et Ion a ainsi 2m inter-

valles dans chacun desquels ^ passe de — =0 à + 00 . Le nombre des racines est

par conséquent égal à m.

Intégrales des Jonctions susceptibles de plusieurs valeurs.

351. Les différentielles considérées dans les exemples précédents n'avaient qu'une seule valeur possible pour chaque valeur de la variable, et lorsque le chemin qui règle l'intégration en se déformant d'une manière continue franchit un point critique, la variation de l'intégrale, due tout entière aux éléments qui dans

un intervalle infiniment petit ont acquis une valeur infinie, est égale (344) à l'intégrale relative à un cercle infiniment petit décrit autour du point. Mais les choses, dans certains cas, se passent tout autrement. Soit l'intégrale

(^{z)dz.

les limites a et 6 correspondant aux points P et Q. Supposons que la courbe le long de laquelle on intègre traverse en se déformant un des points critiques relatifs à la fonction (p(z), et cherchons quelle variation en résultera pour l'intégrale.

Le problème est très-différent de celui qui a été résolu (344). La valeur de <f{z) n'étant plus pour chaque valeur de z unique et indépendante de la route suivie par le point qui représente z, une cause nouvelle de changement se produit pour .altérer bien plus profondément le résultat. Dans le cas traité (344), l'intégrale

iz) dz

pouvait, par un choix nouveau de la courbe le long de laquelle se fait l'intégration, recevoir un accroissement constant dont nous avons calculé l'expression, mais la forme de la fonction reste, à cela près, toujours la même. Les éléments des intégrales correspondant à deux contours voisins diffèrent infiniment peu les uns des autres, et si les contours, après s'être séparés, se réunissent dans une portion de leur cours, les éléments relatifs à la portion commune sont les mêmes dans les deux cas. Il en est tout autrement dans l'hypothèse actuelle. Si l'on considère deux contours infiniment voisins, tels que PMINQ, PMI'NQ, comprenant entre

eux le point critique A, les deux intégrales, identiques pour la portion qui correspond à PM, diffèrent non-seulement parce que dans l'une les éléments relatifs au contour MIN remplacent ceux qui dans l'autre sont relatifs à MI'N, mais encore parce que, entre les points N et Q, les valeurs de la différentielle ^[z)dz sont, dans les deux cas, très-différentes.

352. Considérons, par eiiemple, l'intégrale / V i — z'^dz, et soit A le point critique correspondant à z = i, pour lequel les deux valeurs de la fonction y' i — ^'

sont égales et peuvent se changer l'une dans l'autre. Soit É le point correspondant

pVÂya

à 3 =r 2, et considérons les deux intégrales relatives aux deux contours OPIQB, OPI'QB; elles ont la partie commune

.op

'dz.

Mais il résulte des explications données (I, 373) qu'en suivant à partir de P les deux chemins PIQ et Pl'Q pour parvenir en Q, on y trouvera pour le radical deux' valeurs égales et de signes contraires, en sorte que l'intégrale