OB

I y/i — z' dz ,

./OQ

qui forme la partie imaginaire des deux expressions considérées, aura dans l'une et dans l'autre des valeurs égales et de signes contraires. Quant aux portions relatives aux contours PIQ, Pl'Q, elles sont infiniment petites et négligeables si le cercle PIQI' est infiniment petit.

353. Pour étudier les valeurs diverses de l'intégrale / Œ>{z)dz dans le cas où

la fonction (p{z) est mal déterminée, M. Puiseux a proposé une classification ingénieuse et fort utile des divers chemins qui, entre les deux points qui représentent les limites a et z, peuvent donner lieu à des intégrales distinctes.

Soient A et Z les points extrêmes qui représentent les limites de l'intégrale et C, Cj,..., C„ les points critiques dont la rencontre peut faire naître un changement dans l'intégrale, lorsque le contour qui réunit A à Z franchit l'un d'entre eux en se déformant. M. Puiseux nomme contour élémentaire le contour parcouru par * un point qui, partant de A, se dirige vers un des points critiques, décrit autour de lui un cercle infiniment petit, et revient en A en suivant la ligne qui l'a amené. "Il e«t aisé de voir que tout contour commençant en A et finissant en Z peut être remplacé par la réunion de plusieurs contours élémentaires successivement parcourus, auxquels on adjoindra, pour terminer, la droite OZ, et qu'une telle substitution peut se faire sans qu'il en résulte de changement pour l'intégrale.

Consitiérons en effet un fil flexible dont une extrémité soit fixée en A, et qui, plié suivant la ligne qui dirige l'intégration, aille passer dans un anneau placé en Z. On peut, on le sait, changer la forme de ce fil sans altérer l'intégrale, pourvu que, conservant les mêmes extrémités A et Z, il ne franchisse en se déformant aucun des points critiques. On peut aussi adjoindre au chemin considéré, quel qu'il soit, un chemin quelconque deux fois parcouru en sens opposé partant de l'un quelconque des points du contour et y revenant, /^our^-u qu'il introduise dans l'intégrale des éléments qui se détruisent deux à deux.

Ceci étant rappelé, supposons que l'on implante sur chacun des points critiques C|, Co, . . . , C„ une tige matérielle qui empêche le fil de la franchir, et que l'on tire ensuite celui-ci à travers l'anneau Z, de manière à le raccourcir autant que possible en le réduisant à une série de lignes droites réunissant les points critiques ou seulement quelques-uns d'entre eux, autour desquels il pourra faire un nombre quelconque de circonvolutions. Supposons qu'à partir de A le chemin ainsi réduit se dirige d'abord vers le point critique C, ; deux cas peuvent se présenter : ou il s'appuie sur lui simplement, ou bien, avant de le quitter, il fait autour de lui un ou plusieurs tours. Dans le premier cas, le chemin ayant la forme ACiCj peut être

remplacé par un contour élémentaire décrit autour du point C,, suivi d'un chemin direct dirigé vers Cj et laissant C, à sa gauche. Si le fil avant de quitter C, fait au- * tour de lui n circonvolutions, on peut remplacer la portion ACiC, par n -f- i contours élémentaires, suivis d'un chemin direct qui va de A vers Co en laissant C, à sa gauche. Et j'entends par là que ces deux chemins peuvent être réduits l'un à l'autre, comme l'on s'en assure à la simple vue, sans qu'il y ait nécessité de faire franchir à l'un d'eux, en le déformant d'une manière continue, aucun des points critiques C, et C^, et en évitant, bien entendu, la rencontre des autres points critiques qui peuvent se trouver sur le plan.

Le fil, se dirigeant ensuite vers un troisième point C3, pourra être remplacé de même, dans la portion AC2C3, par un certain nombre de contours élémentaires décrits autour de Cj, suivi d'une ligne se rendant directement vers G3 et laissant C, et Ci à la gauche, sans comprendre entre elle et iVCiCoC., aucun autre point critique.

L'application répétée de cette méthode permettra, comme on l'a annoncé, do remplacer le chemin proposé, quel qu'il soit, par une série de contours élémentaires auxquels on adjoindra un dernier chemin allant directement de A en Z.

354. Suivons les conséquences des considérations précédentes dans l'étlide de l'intégrale

r' dz

Jo \/ï — Z'

arcsinz.

Admettons que pour la valeur initiale z = o on prenne y/i — z^ = + i; si, partant de l'origine des coordonnées, le point qui représente z suit une courbe donnée quelconque, les valeurs successives des radicaux sont déterminées (I, 373) par la loi de continuité. Les points critiques correspondent ici aux valeurs .z = ± i et sont tous deux situés sur l'axe des X de part et d'autre de l'origine.

Les contours élémentaires sont AIKI'IA et AGLG'GA. Un chemin quelconque partant de A et se terminant en Z peut être remplacé par une série de contours élémentaires successivement parcourus, auxquels on adjoint, pour terminer, la droite AZ. Lorsque, partant du point A, en adoptant pour le radical la valeur + i, le point qui représente z parcourt la droite AI, si l'on nomme s le rayon de cercle C,I, la valeur du radical lorsqu'on arrive en I est évidemment -+- ^i — e'^; mais quand en faisant tourner le point directeur autour du petit cercle on l'aura ramené en I, le radical aura pris la valeur — ^J — £* • On a, en effet,

les deux valeurs de y^i -i- z n'étant pas infiniment voisines ne peuvent évidemment pas s'échanger Tune dans l'autre par suite du chemin infiniment petit qui a été parcouru; mais celles de y/i — ^ au contraire s'échangent à la suite de la rotation du point qui représente z autour du point critique G,. Le point directeur partant de 1 pour revenir en A et achever le contour élémentaire, le radical ayant pour valeur initiale — y/i — e" et variant d'une manière continue, sera constamment négatif et aura pris, lors du retour en A, la valeur — i, égale et de signe contraire à celle qu'il avait au départ. Le parcours du contour élémentaire correspondant au point Ci change également et pour les mêmes raisons le signe de la fonction. Il résulte de là qu'un même contour, parcouru successivement un nombre pair de fois, n'amènera dans l'intégrale que des éléments qui se détruisent deux à deux,

et comme la fonction retrouvera en A la valeur primitive, les autres éléments resteront les mêmes et ces contours élémentaires pourront être supprimés.

Dans le chemin le long duquel on intègre, on doit, d'après cela, supposer que les deux chemins élémentaires soient toujours alternativement parcourus, chacun d'eux pouvant l'être un nombre quelconque de fois, mais jamais deux fois de suite.

Cherchons la portion de l'intégrale relative à l'un de ces contours. La portion relative à AI est évidemment

arc sin(i — .e) — arcsino;

elle diffère infiniment peu de -; celle qui se rapporte au contour du cercle infiniment petit est elle-même infiniment petite. On a, en effet, pour un point de cercle

z = I -I- £(cos<p -4- y/— 1 sln9), dz = e y/— i rfcp (cosç -f- sj—i sincp), dz /• + ir g ^ — I (cos9 -f- ^^i sinç)

r dz r-^''

\l[-2. -+- ê(cos9 + v^— I sintp)] (— s) (coscp + y/— i sin9)

et l'on voit que l'élément de l'intégrale contient sjz en facteur.

L'intégrale relative à lA est égale enfin à celle qui se rapporte à AI et de même

signe, puisque les facteurs dz et -=:;= changent de signe en même temps quand

on passe de l'une des intégrales à l'autre.

L'intégrale relative au premier contour élémentaire est, d'après cela, égale à n, lorsque la valeur initiale du radical est + i ; elle serait — n dans le cas contraire. L'intégrale relative au second contour est — n dans le premier cas et + tt dans le second.

Cela posé, si l'on commence à faire parcourir, au point qui représente z, n fois chacun des deux contours élémentaires, en passant alternativement de l'un à l'autre, l'intégrale relative à l'un de ces contours sera ± ^nn, selon qu'on aura commencé par celui de droite ou par celui de gauche; et si l'on prend n -\- i fois le premier et n fois seulement le second, elle sera ±: (2n+ i)7r. En nommant u l'intégrale prise le long de AZ, lorsque la valeur initiale du radical est + i, et — u, par conséquent, lorsque cette valeur est — i, ce qui aura lieu après le parcours de 2« + i contours, les valeurs que peut prendre l'intégrale sont

ce qui esl précisément l'expression générale des arcs, dont le sinus est égal à

s'inu.