La fonction arcsin:;, considérée comme l'intégrale

'2 dz

est, on vient de le voir, une fonction mal définie qui, pour chaque valeur de z, peut acquérir une infinité de valeurs distinctes. Mais si l'on considère u comme la variable, la fonction inverse

z = sinw

est au contraire bien définie. 11 importe d'en expliquer la raison. Les variables z et u recevant simultanément des valeurs représentées par deux points du plan, il faut, pour étudier leur dépendance, suivre leurs mouvements simultanés. Rappor-

tons-les, pour plus de simplicité, à des axes différents OY, OX pour z, O'Y', O'X' pour u. L'équation

montre que les points critiques de la fonction z, s'ils existent, doivent correspondre à z = =t I, et par conséquent, d'après l'étude faite précédemment, l\u = {^k-h i) -• Soit, par exemple,

représentés respectivement sur la figure par les points P et Q. Supposons que le point qui représente z tourne autour de P sur un cercle infiniment petit de rayon p ; cherchons le mouvement correspondant du point qui représente u. Nous devons

poser

z =z i -h p (cos9 4- v'— I sinç),

dz = p y/— I (coscp + v/ — I sin9) dcf, et, puisque p est infiniment petit, en remplaçant i + z par 2,

i — z-^(i — z){i-\- z)=— 2p(cos(p + v'— ' sin9) =: 2p[cos(9 + tt) -f- v^— I sin:

et par conséquent

« = ^7.p I sin

y/— I ces

I — rr

la constante C est évidemment égale à -• Il est clair que f, variant de zéro à 27:,

le point qui représente u décrit une demi-circonférence de rayon \/2p autour du point Q; et l'on voit que z reprenant sa valeur primitive après avoir fait un tour entier, u ne reprend pas la sienne, et c'est pour cela que u est une fonction mal définie. Mais si, au contraire, u fait un tour entier sur le cercle de rayon y/ap, le point qui représente z fera deux tours sur le cercle de rayon p, et z, considéré comme fonction de u, reprend sa valeur primitive lorsque u tourne autour du point Q, qui, par conséquent, n'est pas un point critique.

Système de représentation de Riemann.

356. L'étude des fonctions imaginaires et de l'influence du contour adopté sur le résultat de l'intégration est fondée tout entière, comme on l'a vu, sur l'examen des diverses valeurs qu'une même fonction peut acquérir pour une valeur donnée de la variable. Le système adopté par Cauchy et les développements de M. Puiseux sur les contours élémentaires forment un ensemble aussi clair que satisfaisant. Un géomètre d'un rare mérite, trop tôt enlevé à la science, M. Riemann, a proposé cependant un mode de représentation nouveau, qui, dans plusieurs recherches importantes, a été préféré depuis et dont nous devons faire connaître le principe.

La représentation d'une fonction (p(z) doit fournir pour chaque valeur de z la valeur correspondante de la fonction, et comme, d'après les conventions de Gauss et de Cauchy adoptées aussi par Riemann, chaque valeur a-\-b \J—i de z est représentée sur un plan par le point dont a' et h sont les coordonnées rectangulaires, on doit concevoir qu'à chaque point du plan soit attachée en quelque sorte la valeur correspondante de la fonction. Si cette valeur est unique et bien déter-