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minée, il n'y a aucune difTicuIté, mais si la fonction par sa définition comporte plusieurs valeurs, leur application pure et simple à chaque point du plan ne donne plus un renseignement suffisant, car il reste à décider dans chaque cas quelle est celle qu'on doit choisir pour ne pas rompre la continuité. Les méthodes de Cauchy et de M. Puiseux donnent pour chaque chemin adopté le moyen simple et élégant de résoudre le problème. Riemann a voulu faire un pas de plus en représentant d'avance, et matériellement en quelque sorte, la solution relative à chaque cas.

Considérons, pour prendre l'exemple le plus simple, la fonction sjz, qui, pour chaque valeur de z, peut recevoir comme on sait deux valeurs. Concevons, pour la représenter, qu'un plan dont les points sont rapportés à deux axes de coordonnées rectangulaires soit recouvert par un second plan identique, dont chaque point reste cependant distinct de celui qu'il recouvre, sans qu'on puisse regarder comme possible le passage direct de l'un à l'autre. Les deux surfaces planes ne sont pas pour cela complètement séparées; elles sont réunies tout le long d'une ligne arbitraire OP passant par l'origine et s'étendant indéfiniment, en se croisant en quelque sorte, de telle façon qu'un point qui, se mouvant sur la surface supérieure, rencontre la ligne OP doit, en la franchissant, passer sur la surface inférieure, et réciproquement.

La ligne OP forme, on le voit, comme un pont entre les deux surfaces. Il est aisé de voir qu'en choisissant arbitrairement en un point quelconque, en M par exemple, qui correspond à z:= i, la valeur attachée au plan inférieur, qui sera par exemple — i, et celle qui répond au plan supérieur qui sera +i, la continuité donnera, pour un point quelconque de l'un des deux plan?, une valeur unique et déterminée qui pourra y être attachée d'avance, indépendamment de la route suivie pour y parvenir, le problème à résoudre dans chaque cas n'étant plus de savoir quelle valeur on doit prendre, mais quel est celui des deux plans sur lequel on se trouve, c'est-à-dire si l'on a traversé la ligne OP en nombre pair ou impair de fois. Il est clair en effet que si l'on reste sur le même plan, c'est-ii-dire si l'on ne franchit pas la ligne OP, les contours suivis ne pouvant envelopper le point critique 0 sont transformables les uns dans les autres sans avoir à le franchir et sont par conséquent équivalents. Il est clair aussi que dans cette même hypothèse, à deux points infiniment voisins du même plan pris de part et d'autre de OP, G et G'

par exemple, correspondent deux valeurs égales et de signes contraires de \z, car sans cela, en adoptant en M une valeur de \Jz allant de M en G sans franchir OP. puis directement de G en G' et revenant de là en M, encore sans franchir OP, on retrouverait en M la valeur primitive de \lz, ce qui ne peut pas être puisque le contour ainsi défini enveloppe une fois le point 0. Il est évident enfin que pour les points superposés des deux plans les valeurs sont égales et de signes contraires; elles le sont en effet au point de départ M, et si deux points partent ensemhle de M, l'un sur le plan supérieur, l'autre sur le plan inférieur, en suivant d'ailleurs la même route, il est clair que les valeurs de la fonction correspondant à leurs positions successives resteront comme au départ égales et de signes contraires. Cela posé, si un point part de M sur le plan inférieur par exemple, la valeur correspondante de \/z étant + i, tant qu'il restera sur ce plan, c'est-à-dire tant qu'il ne franchira pas OP, les valeurs de la fonction correspondant à ses positions successives se succéderont d'une manicMe continue, et, si la route suivie vient traverser OP, il faudra d'une part, d'après notre convention, que le point passe d'une surface dans l'autre, et d'autre part, pour la continuité, que l'on adopte précisément pour \/z la valeur relative à la surface nouvelle sur laquelle le point a passé. Les mêmes changements se faisant en même temps à chaque fois que la ligne OP est franchie, il y aura toujours harmonie entre la situation du point, celle des deux surfaces sur laquelle il se trouve et la valeur correspondante de la fonction.