I -, t; = f- I dxe' = • h e

J I -hx)- l-i-X J I -{-X.

12. On peut généraliser de la manière suivante le procédé d'intégration par partie. Supposons que dans une fonction <f{x) de la variable x on remplace d'une manière arbitraire celte lettre œ par l'une ou l'autre des lettres x' et x", de manière à transformer (p{x) en une fonction /(a;', a;") qui reprendra la forme primitive (p{x) lorsqu'on supposera x' = x" ^^x,...; l'introduction des lettres x' et x" peut être faite d'ailleurs d'une manière entièrement arbitraire. On aura

(2) l'^{x)dx = ff{x', x")dx' — Çdx r^, ff{x', x") dx'^ ^ ^ ■

La première intégration indiquée dans le second membre est relative à x' seulement, et l'on y traite x" comme une constante; quanta la seconde, il faut d'abord,

pour l'effectuer, former / /{x', x") dx' en considérant x" comme une constante,

prendre la dérivée du résultat par rapport à x" et remplacer ensuite x' et x" tous deux par x avant d'intégrer par rapport à cette lettre.

Il est bien entendu d'ailleurs que dans la première intégrale x' et x", après l'opération, sont tous deux remplacés par .r.

Pour démontrer ce tbéorème, il suffit de prouver que les deux membres de l'équation (2) ont même dérivée par rapport à .r; la dérivée du premier est o{x). Pour calculer celle du second, remarquons d'abord que l'intéga-ale

ff{x',x")dx',

dans laquelle on fait après l'intégration x' =zx" =^x, peut être regardée comme une fonction de x' et de x", qui l'une et l'autre ont leur dérivée par rapport à x

égale à l'unité; on a donc

ff{x',x").ix'=~j'f{x', x")Jx' + j^ffi^'' ^")dx'

= f{x',x")+'^^,^f{x',x")dx\

xf et x" devant toujours être remplacés par .r; mais la dérivée du second terme du second membre de (2) est précisément

et par conséquent la dérivée du second membre de (2) se réduit à /(a;', a?"), c'est-à-dire à <p(a;j.

13. On peut simplifier l'expression écrite du théorème en convenant de ne distinguer les lettres x' et x" de la lettre x qu'elles remplacent que dans les opérations relatives à x' seul ou à x" seul, et se dispenser alors d'indiquer qu'on doit dans le résultat remplacer x' et x" par x.

La formule (2) s'écrira ainsi

( 3 ) r/("P', x" ) dx ^ ff{x', x" ) dx' - fdx -^, \ Cf{ x', x" ) dx'\

si l'on suppose

¥' étant la dérivée d'une fonction désignée par F, la formule ne diffère pas de celle qui indique l'intégration par partie.

Quelques sommations réduites a des intégrales. 14. L'intégrale définie

9 ( X ) dx

est, coinme on l'a vu (2j, la limite d'une somme d'expressions infiniment petites

<i[a) dx -\- ';f[a -^ dx) dx -^ (Sf[a -\- idx) dx -{-... -\- v)[a + ndx)dx,

le nombre n augmentant lorsque dx diminue, de telle sorte que l'on ait toujours ndx — b — a.

Cette formule permet de représenter par des intégrales définies certaines sommes qui semblent à première vue se rattacher à des problèmes tout différents.

Soil par exemple à calculer la limite de la somme

lorsque le nombre entier» augmente indéfiniment. Posons n— -j--, et la somme deviendra

dx dx dx dx

a a -h dx a -h 2ax 2 «

dont la limite est évidemment

Soit encore la somme

/t=+l IÛ-+- 2' 211'

dans laquelle on suppose que le nombre n augmente indéfiniment. Posons

la somme devient

r dx dx dx dx "j

li + {dxy "•" I +{2dxY ■^•••+ i^[[n — i)dx]' i + {iidxy]'

ndx étant par hypothèse égal a l'unité, la limite de cette somme représente l'intégrale

r' dx

I ■ ~ arc lang 1 — arc lango :

Cherchons enfin la limite de la somme