Considérons en second lieu la fonction

a, h, c étant trois constantes correspondant aux points A, B, C du plan.

Nous supposerons encore deux plans superposés dont les points correspondants sont considérés comme entièrement séparés. On suppose de plus une ligne arhi-

traire allant de A en B, puis de B en C, et se prolongeant indéfiniment à partir de C. Commençons par étudier les valeurs de la fonction u, lorsque le point qui représente z parcourt un des deux plans sans franchir cette ligne ABCK. Comme il est impossible, en s'imposant celle restriction, de décrire un contour qui enve-

loppe un des points critiques A, B, C, les chemins possibles pour parvenir d'un point donné à un autre sont tous équivalents, et en prenant en un point arbitraire de l'un des deux plans une valeur déterminée de u et la valeur égale et de signe contraire pour le point superposé, on aura pour chaque point de chaque plan une valeur unique et déterminée de la fonction, les valeurs qui correspondent aux points superposés étant évidemment toujours inégales. Il est aisé de voir de plus, d'après les explications données (356), que, pour un même plan, les valeurs relatives à deux points infiniment voisins situés de part et d'autre de la ligne de séparation sont égales et de signes contraires sur AB, égales au contraire et de même signe sur BC, et égales et de signe contraire au delà de C. Si deux chemins partant de M conduisent par exemple, l'un en G, l'autre en G' sans quitter l'un des plans, et par conséquent sans franchir ABCK, ils ne peuvent faire prendre à la fonction des valeurs infiniment voisines, car sans cela, en partant de M, suivant le premier contour pour arriver en G, puis passant directement en G' et revenant en M par le second contour, on y retrouverait la valeur primitive, ce qui ne doit pas être puisque le contour fermé enveloppe le seul point critique A et l'enveloppe une seule fois. Des considérations toutes semblables montrent que la continuité n'est pas rompue le long de BC et qu'elle l'est au delà de C.

Nous admettrons d'après cela que nos deux plans sont réunis et comme soudés l'un à l'autre, en se croisant en quelque sorte le long des lignes AB et CK, de telle sorte qu'on ne puisse traverser une de ces lignes en se mouvant sur l'un des plans sans passer sur l'autre au moment où on la franchit. Grâce à cette convention, on peut considérer la fonction u comme représentée sur ce double plan, de telle façon qu'à chaque point de la double surface corresponde une valeur de u et une seule, et qu'un mouvement quelconque d'un point sur le plan, dans lequel il passe d'une surface à l'autre, quand nos conventions l'exigent, lui fasse trouver pour la fonction u une série de valeurs qui soient toujours celles qu'on doit adopter pour respecter la continuité.

358. La méthode de Riemann suppose, on le voit, que pour chaque fonction on détermine préalablement le nombre des valeurs dont elle est susceptible en chaque point, pour concevoir un nombre égal de feuilles superposées sur lesquelles on le représente, en établissant entre elles des soudures qui, lorsqu'on les rencontre, forcent à passer d'une feuille sur l'autre suivant des règles qu'il faut assigner chaque fois et dont l'étude de la fonction, faite suivant les principes de Caucby, rendra la recherche facile.

Considérons par exemple la fonction

qui, pour chaque valeur de z, a trois valeurs distinctes m,, a«,, «'«,, a. étant la racine cubique de l'unité; il faut, pour la représenter, concevoir trois feuillets superposés. Soient A et R les points qui correspondent à z = a et s = 6, et que Cauchy nomme les points critiques; on suppose une ligne ABK de direction et de forme arbitraire allant de A en B et s'étendant ensuite de B jusqu'à l'infini.

Si l'on s'interdit d'abord de franchir cette ligne, on ne pourra tourner autour d'aucun des deux points critiques; toutes les routes qui réunissent deux points sur une même feuille sont par conséquent équivalentes, et en se donnant par conséquent en trois points superposés choisis comme on voudra les valeurs u^, «.Uq, u} «^ que l'on veut adopter pour chacun d'eux, les valeurs correspondantes à un point quelconque de l'une quelconque des feuilles seront déterminées sans ambiguïté et, en chaque point, ces trois valeurs pourront être représentées dans le même ordre par «,, «a,, «^«,. Considérons deux points voisins G et G' situés de part et d'autre de AB et soient en G sur les trois feuilles u, au, ar u les valeurs de la fonction u, les valeurs en G' devront, pour chaque surface, être multipliées par a et seront au, a? u et u. H est clair en effet qu'en partant du point initial G pour aller en G' sans traverser ABK, on tourne autour du point critique A (en négligeant l'espace infiniment petit GG'j, et il est aisé de voir que cette rotation, que l'on peut remplacer par un cercle infiniment petit, décrit autour de A, multiplie par a. la valeur de u. On verra de même que pour passer de H à H' il faut tourner autour des deux points critiques et que la fonction reprend la même valeur sur une même surface. La soudure doit donc être établie le long de AB seulement, et de telle sorte qu'en traversant AB on soit forcé de passer de la surface i à la surface 3, de la surface 3 à la surface 2, et vice versa. Cela étant convenu, et à chaque point d'une même surface correspondant une seule valeur de u, la fonction sera complètement' représentée, et en suivant un chemin quelconque à l'origine duquel correspond une valeur représentée sur celle des surfaces où l'on se trouve, on se trouvera toujours en chaque point sur celle des trois surfaces à laquelle est attachée la valeur convenable de la fonction.

359. Lorsqu'une fonction se trouve ainsi représentée sans ambiguïté à l'aide des feuilles superposées de Riemann et des soudures suivant lesquelles elles se croisent et se réunissent mutuellement, la fonction peut être considérée comme n'ayant plus qu'une seule valeur, et il n'en correspond en effet qu'une seule à chaque point de l'ensemble des feuilles sur lesquelles elle est représentée. L'intégration dans ce cas peut cependant ramener les valeurs multiples et une ambiguïté

nouvelle que Riemann fait ilisparaîire par une décomposition ingénieuse de surfaces qui forme un des points essentiels de sa théorie.

Il faut d'abord établir un lemme important sur lequel la méthode est fondée.

On a vu (335) que si une fonction <p(z) est continue, finie et bien déterminée ainsi que la dérivée pour les valeurs de z qui correspondent aux points intérieurs à un contour fermé, l'intégrale

[z)dz,

prise tout autour de ce contour est égale à zéro. Le théorème est vrai pour un contour tracé sur les feuillets juxtaposés de Riemann et pouvant appartenir à plusieurs feuilles différentes, pourvu qu'il contienne dans son intérieur une portion finie et déterminée de surface, telle que par aucune route suivie conformément aux conventions adoptées sur la manière de passer d'une surface à l'autre, un point placé dans l'intérieur ne puisse en sortir sans traverser le contour. Celle condition demande qu'on l'éclaircisse par un exemple.

Supposons que la fonction considérée soit \Ji~ z^; elle sera représentée, sur deux feuilles réunies et croisées suivant la ligne AB qui joint le point critique — i au point critique -+- \ .

Le contour MNPQ situé sur l'une des deux feuilles ne doit pas être considéré comme fermé parce que, en partant du point K situé dans son intérieur, on peut aller trouver la soudure AB en un point I, la traverser, passer sur l'autre feuille et s'éloigner indéfiniment sans rencontrer MNPQ.

La démonstration du théorème est toute semblable à celle qui a été donnée (335). Soit

(f{z)dz=. (P + Q y/^) (dx 4- df y/^) = Vdx — Qdy+\/—~ï{Qdx' + ?dr);

les intégrales

étendues à tous les éléments de la surface considérée sont évidemment nulles.

puisque (l, 364) l'on a

dV dO

dP dx

Mai.s en partageant la surface en bandes parallèles à l'axe des X correspondant sur les divers feuillets aux valeurs de / convenables pour qu'aucun élément ne soit oublié, on aura, en nommant sur l'un des feuillets ^i, k^, k^, k^ les intersections de l'une de ces bandes, soit avec la portion de contour qui y est située, soit avec les soudures,

JJ^dxdr=Jdrf'^dx=priQ>~Q^ + Q'~Q',

et, en laissant de côté les éléments qui se rapportent aux points situés dans les soudures, cette intégrale (335) équivaut à j Qdy étendue au contour entier. Quant aux éléments négligés, ils se détruisent deux à deux, car chaque point de soudure se trouvant à la réunion des deux feuillets, s'il termine la portion de parallèle à l'axe des X située sur l'un des feuillets dans l'intérieur de la ligne considérée il sera le point de départ de celle qui appartient à l'autre feuillet, et les deux éléments relatifs à ce point figureront par conséquent avec des signes contraires. Quant à la valeur de Q, elle est la même sur les deux feuillets des deux côtés de la soudure qui a été établie précisément pour que cette condition soit remplie relativement à la fonction o{z) ou P + Q \/ — i-

La même démonstration s'appliquera comme (335) aux trois intégrales

fj'i'^'r, ff''^.<^-<r, fffx'^'r.

et l'on verra que l'expression

peut se réduire à

I ( Pdx — QJj j + \/^ / (Pdy + Qdx, = j <p( z ) dz,

étendue au contour entier et que cette intégrale, comme nous l'avions annoncé, a par conséquent une valeur nulle.

360. Si deux points A et B situés sur un même feuillet ou sur des feuillets différents sont réunis par deux chemins différents, formant à eux deux un contour

fermé comprenant entre eux une portion déterminée et finie de surface, l'intégrale relative à ce contour sera nulle, et par conséquent on verra comme (336) que l'intégrale / 9(5) dz a la même valeur pour les deux chemins.

Cela posé, la méthode de Riemann consiste à établir sur l'ensemble des feuillets des coupures ou barrières infranchissables et telles, qu'en les respectant deux chemins quelconques qui réunissent entre eux deux points donnés forment un contour fermé contenant dans son intérieur une portion finie de surface. L'intégrale

/ <f[z) dz devient alors complètement déterminée et a, pour chaque valeur de z,

une valeur unique.

Considérons par exemple la fonction -■ On sait que l'intégrale / ~ est mal

déterminée et admet, lorsque z est donné, une infinité de valeurs différentes. Ces valeurs multiples, comme nous l'avons exposé, sont dans l'essence de la fonction logarithmique, et il ne faut pas songer à les faire disparaître : Riemann parvient seulement à les séparer nettement les unes des autres. Concevons pour cela, dans le plan unique dont les points représentent les valeurs de ^, une coupure OP parlant du

point 0 et s'étendant indéfiniment dans xin seul sens et dans une direction d'ailleurs arbitraire. Cette coupifre sera considérée comme infranchissable, de telle sorte que les points M, etMa, quelque rapprochés qu'ils soient géométriquement, ne seront plus considérés comme voisins et qu'aucun chemin ne pourra plus traverser OP.

Aucun chemin dès lors ne pourra envelopper le point 0, et l'intégrale 1 -^

aura en chaque point du plan une valeur unique et déterminée. Cette valeur sera différente pour les points M, et Mj, ce qui n'empêche pas la continuité, puisque ces points ne sont plus voisins. Il résulte des explications données (337) que la différence de ces valeurs, égale à l'intégrale prise le long d'un contour qui, partant du point M|, aboutit en Ma sans avoir franchi la coupure, est insj—i. L'interdiction de franchir la coupure ayant d'ailleurs été imposée arbitrairement, on peut considérer ensuite les intégrales relatives à des contours quelconques qui en sont affranchis, et l'on voit aisément qu'à chaque fois qu'on la traverse iH'aut ajouter ou retrancher it: y — i au résultat que l'on aurait obtenu si depuis le dernier pas-

sage on l'eût constamment respectée. La fonction Iz peut de cette manière être augmentée, pour une même valeur de z, d'un multiple quelconque de 2Tt\j — i.