I. Cale. int

pas dans son intérieur une portion déterminée du double plan, et le long duquel

J""^ dz ' acquiert alors I V I — 2

une valeur déterminée et, quelles que soient les deux routes suivies sur la double feuille, en respectant la coupure, pour unir le point i au point z, les deux intégrales auront la même valeur puisque l'intégrale prise le long du contour, qui est nulle, est égale à leur différence. Les points tels que M, et M2 situés de part et d'autre de la coupure, quelque rapprochés qu'ils soient géométriquement sur la même feuille, ne sont plus considérés comme infiniment voisins, et l'intégrale qui se rapporte au point M, est autre que celle qui se rapporte au point M2. Leur différence est évidemment l'intégrale prise le long d'un contour qui partant de M, aboutit en Mj sans franchir les coupures, comme serait par exemple M, RM2; l'intégrale prise le long d'un tel chemin est (354) égale à arr, et les valeurs de l'intégrale en M, et en Mj différent de 2n, en sorte que si l'on supprime les restrictions, on doit ajouter à l'intégrale autant de fois 27: que la coupure GK aura été franchie de fois.

Nous n'insisterons pas davantage sur cette théorie de Riemann qui, nous devons le dire, a servi déjà de base à de très-importantes recherches. La notion des contours élémentaires nous paraît présenter plus de netteté, et le choix seul et la justification du système de coupures à adopter dans chaque cas peuvent présenter des difficultés laissées jusqu'ici à la charge de celui qui voudra tenter une application nouvelle.