II. ^fil , ^;j2
,ln'-
Posons
dx
cette somme devient
, dx dx
dx H — ■+- -. h .
dx
sli~dx' \Ji — {2dxy \li — [{n—^)dxY
et puisque {n—\)dx est comme ndx, égal à l'unité à la limite, cette somme
représente l'intégrale
* dx . r
. = arc sin i — arc sin o =: - •
Sur les fonctions hyperboliques.
15. 11 sera utile d'indiquer, on terminant ce premier Chapitre, la définition de quelques fonctions dont l'usage, sans apporter aucune ressource essentiellement nouvelle, fera ressortir dans diverses occasions des analogies qu'une autre notation laisserait inaperçues.
On a trouvé (1, 367]
CCS j; = —
sm j: =
on en conclut
coso; v'— I =
ih\X y* — 1 :=
coSiT y'— I , qui est réel, est appelé souvent le cosinus hyperbolique de x et l'on écrit
ti-'+f'^ ■ —
(3) cos liyp. X =: =z cosx sj — x .
Le produit -^::l:; sina; <^— i se nomme de même le sinus hyperbolique de x, et l'on a
( 4 ) sin hyp. j;' = = sin x sj — i .
Le quotient -; '-—^ se nomme, par une convention analogue, la tangente hyper-
bolique de X, et l'on ii
(5) tang tiyp. x = ^ '^^ = -L^ tangx- yj- 1 ■
Ces définitions, en montrant l'analogie des fonctions nouvelles avec les lignes trigonométriques, donnent l'explication de leurs principales propriétés. On a par
exemple évidemment, comme on peut d'ailleurs le vérifier directement,
t cos'hyp.x — sinMiyp.x =: I, (6) I cos hyp. (.r + j) = coshyp.^ coshyp. j+ sin hyp. X sin hyp./,
' sin hyp. {x + y) = sin liyp. ^ coshyp.7 + sin hyp. j coshyp. x.
16. La dénomination de fonctions hyperboliques a son origine dans l'analogie du cercle avec l'hyperbole équilatère. Si l'on considère, en effet, l'hyperbole équilatère dont l'équation est, en coordonnées rectangulaires,
et en coordonnées polaires,
le secteur S, compris entre la courbe et les rayons issus du centre faisant de part et d'autre avec l'axe l'angle w, a pour différentielle (I, 116)
ao=: p'doy =
ces 2 0)
et par conséquent (10)
par conséquent
et
b = / =: - / tang 7 + f- -,
J,^ 2 CCS 2 0) 2 ° \4 ;
tang
tang&) =
lango)
^iS
tangco
,nS
-- tang hyp.
17. Les fonctions inverses des fonctions hyperboliques analogues aux fondions inverses des fonctions circulaires se transforment dans celles-ci lorsque la variable devient imaginaire.
Si l'on pose
u = ces hyp. X,
{,' =^ sin hyp. x, w:= langhyp. x, on en conclut
^ = sect. (ces -hyp. ii),
a: = 5601. (sin hyp. v), X =: secl. ( tang hyp. (c).
On peut d'ailleurs aisément exprimer ces fonctions sans recourir à aucune notation
nouvelle. Les équations (3) et (4) peuvent s'écrire, en effet.
e' -he-
pX I fir-X
En les résolvant par rapport à a:, on a
ar = sect. coshyp. u^l {u -h sju'— \ ), .r = sect. sin hyp. v:=l [v -^ \li + f'),
X = sect. tang hyp. «' = - /
Mais l'emploi deç notations nouvelles a, comme nous l'avons dit, l'avantage de mettre en évidence certaines analogies. On a, par exemple,
: arcsma-,
r dx
/-=^:^. =1 1 [x -\- ^ i -^ x^) =^ sect. sin hyp. x, sji + X'
^ ■=il{x + six'' — I ) = sect. cos hyp. x,
r dx
arciangx,
C dx \ , / 1 -h x\ ,
j j—j^ rr. - / {^-^z~^j = secl. lang hyp. x,
r dx ,
