Si l'on pose
on aura
/■(*■) dx,
et la formule (8) donnera
/ f[x)dx^hf[x)-\- ^-h\f[x)— -B,/t'A/'(a;}-H--^— 7B, A'A/"'(x)
Si l'on applique celte formule à la fonction
on trouve
dlT{x)
d'ITix)
iTix) jx = /,/r(x; + ^ hMTix) - -; B. h^^ -g^ + -—3-^ b,a< a -^—
En posant /* — i, a; = o, on a
A/r(j;)= ITix + i) — lY(x) -^Ix,
dlT{x) I
dx '
d'ITix)
dx^
d'lT(x)
dx'
et ainsi do suite; d'ailleurs (300j
lT{x) dx ^^ ~ l iTz + X Ix — X ;
■X I ' ■}. X 3 . 4 ^^ 5 . 6 JT'
par conséquent
lV\x) ----- - lir. — X -\~\.x \\:.
ce qui s'accorde avec la formule f315j.
376. La fbrinule (ù^j, très-employée dans le calcul des intégrales définies, est mise iiahituellenient sous- une autie forme. Elle est évidemment d'autant plus exacte que la valeur de h est plus petite, et c'est pour cette raison qu'avant d'en faire usage, on partage souvent une intégrale en plusieurs autres dont les limites soient plus resserrées.
On a, en posant h — a — nh.
(^(x)dx --- j (j>{x)dx+ I (f{x) dx + ■ • • -h 1 <B{x)dx,
et en appliquant la formule (i3j à chacune des intégrales qui composent le second membre, on trouve, après des réductions évidentes,
14 ) / o(,jr)(/jr = /t[©{a) + 9(rt -4- A) +• . ■ + 9(rt + /t/i)] /' «fl^) + ?(«)]
B.Anç'l*) -?'(«)]
Si l'on fait ti ■■= i, on a
et déduisant f'{b) — y' (a) de cette équation pour le substituer dans l'équation (i4). on trouve, en remarquant que [b — a) ^= nh,
(.6) j cf{x)d.r= ^~—-^^9.n 2 cp(«+M)4-(«-i)[9(6) + cp(a)]|
En disposant du nombre arbitraire n et combinant entre elles les formules obtenues, on peut former un grand nombre de résultats intéressants.
En posant b — a =p^= 8Q et faisant successivement n = 2, n = /\, n = S, on obtient les trois formules suivantes :
(17) J cp(.^)ûf.r=-g-^j4[cp(«-h49)4-cp(a)+<?(<>)];
(p(.r)f/^=-^=-^ J8[9(« + 26)-t-9(a + 4e) + cp(a + 6S)]J4-3[9(a) + (p{6)J
-.6.,...3.4^^'^^~^^'^^^ + 756.....3.4.5:6^^^^^-y^^^^' (19) / cf{x)dx::= — -- j i6[cp(a + 6)-(- (p(a + 2Ô) + 9(« + 35) + . . . + 9(a + 79)]j
En combinant ces équations pour éliminer <p "(6) — ?"(«). on trouve
-64:T^&-ii^-^^(^)-^^(«"'
(21) / <r,{.x)dx = -^ j 77[9(«) + 9(6)] +33o[9(«+e)+9(fl + 30) + 9(a +■ 5Q) + 9(0 + 76)]
LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉnNIES ET INDÉFINIES, et en éliminant. y^(6j — ?"(«]
(22) f cf{x)clx=-^\ 2i7[9{a) + <p(6)]-f-352[(p(« + 2e)-f-9(rt-h6e)] + 486<B(rtH-4e)j
Ja 0070
-+- 'qJ [?(« + 9)+(p(rt + 36)-f-9(rt-f-59) + 9(a+75)]. 377. Appliquons ces diverses formules à la recherche de l'intégrale I ax =: — =0,02240703341.
Jo ^ 12
On a, dans ce cas, a = o, 6 = 1 et/; = i; donc
?(«) = ?{o) = i, 9|g) = o,94226 4?,85, of-j— 0,89257 4205, 9 ( g j = 0,84920 9950, 9( g 1 = 0,81093 02j6, 9 (g|=: 0,77681 25o5, 9 (g j = o,746i5 4384, ?(g) = 0,71840 9896, 9(i)=-:o,693i4 7181.
La formule (17) réduite à son premier terme donne
^'Z(l^^Jrf^ = ^|^<p(o) + 9(,) + 4cp^|^j=^(,, 693,5 + 3,24372) =0,22881,
et l'erreur porte sur le quatrième chiffre.
En partageant l'intégrale en quatre autres prises entre les limites zéro et y,
7 et -) - et T' 7 et r, et appliquant à chacun la formule (17 j, on trouvera
54 1 '1L±1] dx = iix 3,286 6966 + 2 X 2,449 <'^588 -f- 1 ,693 1472 = 19,739 25. 3,
d'oïl
r' ^il±J?i dx = 0,822 4688, Jo •*
et l'erreur ne porte plus que sur le sixième chiffre. La formule (20) réduite au premier terme donne
J^' l{i -h x) ' rfjr = 7 X 1,693 1472 -+- 32 X 1,638 7286 -I- 12 x 0,810 9302 = 74,022 5077,
352 PEUXIlîME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL,
et par conséquent
1 ^ rta^ = 0,822 47' '■•
avec quatre chiffres exacts.
En décomposant l'intégrale en deux autres / -f- / , on a
,80 r ' '1L±-^) dx = 7 X 1,69314 7181 + 33. X 3,28669 6636 4- 19. X 1,6387 2859
-)- 14 X 0,81094 o?,i(), c'est-à-dire
résultat exact à sept décimales.
La formule (22) donne enfin
56,0 r' 'illt^' û'.r^ 217 X 1,6934 7181 + 1 024 X 3,9.86696631 + 352 X 1,63879 8589 H- 436 X 0,8 1 og3 02 1 6
OU
r ' (li±:îL^ dx ^ 0,82246 7078, exact encore à sept décimales.
