ÉVALUATION DES AIRES PLANES ET DES ARCS DE COURBE

Expression d'une aire plane.

378. Lorsqu'une courbe plaue est rapportée à des coordonnées rectangulaires x et j, l'aire comprise entre cette courbe, l'axe des X et deux ordonnées correspon- .dant aux abscisses a et 6 est représenté par l'intégrale

(Ix.

Toute intégrale définie représente donc une surface, et les exemples traités dans le premier livre pourraient tous, avec un simple changement dans l'énoncé, trouver place dans ce chapitre. ^

11 faut remarquer que la formule qui représente l'aire suppose l'ordonnée positive pour tous les points de la courbe dont les abscisses sont comprises entre a et b; si l'ordonnée/ est négative, l'élément ydx de l'intégrale est lui-même négatif, et l'intégrale, somme de ces éléments, représente l'excès de la surface située audessus de l'axe des X sur celle qui est au-dessous.

Il est également bien entendu que la limite supérieure b surpasse la limite inférieure a; s'il en est autrement, l'intégrale est égale et de signe contraire à celle que l'on obtient en renversant les limites, et par conséquent, lorsque l'ordonnée est positive, l'intégrale représente l'aire changée de signe.

379. Pour évaluer la surface comprise dans l'intérieur d'une courbe fermée telle que celle que représente la figure, on doit déterminer d'abord les tangentes MP,

\. Crilr. iiii. 4 5

arii DEUXIÈME PARTIE. - C.AU.UL INTÉGRAL.

NQ parallèles à l'axe des y, et considérer la surface comme la différence des aires

'--nR'

MKNQP et MK'NQP, dont chacune est représentée par une intégrale, et en nommant j, et jî les deux ordonnées KR et K'R, l'aire est égale à