INTÉGRATION DES FRACTIONS RATIONNELLES

18. Pour intégrer les différentielles de la forme —| — dx, où F{x) et (f{x) sont

F( r ) deux fonctions entières de x, il faut en général décomposer la fraction -~~ en une

somme de fractions plus simples dont la détermination exige le calcul préalable des racines de l'équation <f(x) = o. Lorsque l'on a, en effet, obtenu par la division la

partie entière d'une fraction rationnelle -4^' la fraction restante, dans laquelle le

degré du numérateur est moindre que celui du dénominateur, peut se décomposer en une somme de fractions simples de quatre formes différentes :

Celles qui correspondent à une racine réelle simple et qui sont de la forme ——- •,

Celles qui correspondent à deux racines imaginaires conjuguées simples et qui

sont de la forme p-^^^-^ ;

Celles qui correspondent à une racine réelle multiple et qui sont de la forme B

Celles enfin qui correspondent à deux racines imaginaires conjuguées multiples et qui sont de la forme ^^^^ ^y^f^,y-

Quoique la manière de faire cette décomposition soit exposée dans les Traités d'Algèbre, il n'est pas inutile de la rappeler ici.

19. Supposons d'abord les n racines de l'équation yfa?) = o inégales, et soit

(t>{x] —{x — n}{x — h). . .[x — li){x — !].

Posons

En multipliant les deux membres par çf^c), on a

Si dans les deux membres de cette équation, qui doit être identique, on suppose x = a, tous les termes du second membre disparaissent à l'exception du premier qui se réduit à Ay'(a), et l'on a

donc

?'(«)■■ On aura de même

et ces valeurs rendent l'équation (2) identique, car les deux membres qui sont des polynômes entiers en x, de degré n — i au plus, sont égaux pour n valeurs de la variable.

Si a et è sont deux racines imaginaires conjuguées a -+- ^ sj— 1 et a — /3 sj— i , les formules (4) donnent pour A et B des expressions imaginaires conjuguées P -+- Q y/— ' et P — Q v^— I , et la somme des deux fractions correspondantes est

p | Q v^ p — Qy/HT ^V[x-x ) — 2Q[3

20. La méthode est évidemment en défaut lorsque l'équation (f{x) =0 admet des racines multiples, et la forme (i) devient impossible; car en supposant, par exemple, la racine a multiple, le second membre de (a) deviendrait nul pour x= a, tandis que le premier se réduit à F(a) qui est différent de zéro. Soit p le degré de multiplicité de la racine a, et

(p(a;)=r(x — a)i' 'i^{x), on posera

9(x) x—a [x — a)' "' [x ~ ny '^[x]

Pour déterminer A,, Ao,..., A^, en multipliant les deux membres par '^{x), nous aurons

(6) Y[x) = k,^{x)[x —a)P-' + k,']^[x){x — a)P'-' + ...->rk,,^{x)+ Y,{x)(x — uy.

En faisant x — a dans l'équation (6) et dans les [p — i) premières dérivées, on formera p équations du premier degré dont la première fera connaître A^,, la seconde Ap,,.. , et la dernière enfin A,. La méthode s'applique au cas où la racine est imaginaire, mai§ il est plus simple, dans ce cas, de chercher directement les

L Cale. inl. 3

fractions simples qui correspondent aux deux racines conjuguées. Si l'on suppose

on posera

Tjx) A,.r + B, A,^ + B, A,,.r + Bp F,{x)

''^ <f{x)^ ix-txr + ^''^{{x-^.y+^'f~^'"'^ ïï^—ccy + '^'Y'^ <\i(x)'

En multipliant par ç>{x) les deux membres de cette équation, on a

(8) ¥{x) = {A,x + B,]'\>{x)[[x-acy-+^'\p^-'+{A,x + B,)'])(x][{x-xr+p'\'"-'+... + {A,,x + B^) '^{x) + F,{x][{x - ay + ^'Y,

et les coefficients Ap, B^, A^, ,, B,,^(,..., A,, B, se détermineront successivement en faisant a; = a + |3 v'—i dans l'équation (8) et dans les/?— i premières dérivées et égalant les parties réelles des deux membres et leurs parties imaginaires.

On peut d'ailleurs, pour effectuer la décomposition d'une fraction rationnelle en fraction simple, employer plusieurs méthodes qu'il est inutile d'exposer ici; bornons-nous à rappeler celle qui est fondée sur le calcul des résidus qui a été indiquée ([, 441).

21. L'intégration des fractions rationnelles se trouve réduite, par ce qui précède, à celle de quatre différentielles plus simples. On a

rkdx

- kl[x — a], Kdx I

X — a]" Il — I (x — «)""'

Ces deux formules sont évidentes, et les différentielles qui y figurent sont du nombre de celles qui s'intègrent directement. Pour intégrer la troisième fraction type

Ax + B .

dx.

posons

dx = dz, on aura

Ajt + B , vAs + Aa+B , Azdz (Ax + B)di

dx = dz •■

(jr-«g'-f-j3' ■ z'+^' 'z'+^' Z-+P'

On a évidemment

nAa + 'B)dz

Azdz A,

{Aa + B)dz Aa + B z

— arctang-5

(3 "■—■■.,(3 et par conséquent

j(T^^7T^^^=^['(^-«)' + Pn + -^-arctang-^.

Considérons enfin la quatrième différentielle élémentaire

Si l'on pose x— c/. = z, elle devient

On peut la partager en deux autres

dx.

dz.

Azdz ,. ,. , dz

On a évidemment

Si

Azdz A I

[z' + ^'y " ~ 9.(n— i) (z' + (3^)"-' ' et

, . r dz ^ r dzi^'+ z' — z') i r dz i^ r z^dz

Mais l'intégration par partie donne

r 2'dz r zdz „ r . r i "i

rt'z

2{n — i)(z=+(3=)"-' 2(rt— I) J (z^+ p--')"'et l'équation (9) devient, si l'on réunit les deux termes semblables,

dz z I

r dz (2« — 3) r

cette formule ramène l'intégrale cherchée à une autre de même forme dans laquelle l'exposant n est remplacé par n — i . La même formule de réduction per-

mettra de substituer à n les exposants successifs /i — 2 , n — 3,..., et enfin

l'unité; le Problème sera alors résolu, car on a

r dz . .

dz I z

parctangp.

dx

La même méthode de réduction s'applique évidemment à / — . ,„

22. L'intégrale j r ,-^ov.- peut aussi s'obtenir par une méthode indirecte qu'il

sera utile de mentionner.

On a évidemment

/dx I X

^ =: -^ arc tang --=,

et cette formule équivaut à

On en déduit, en prenant n fois la dérivée de chaque membre par rapport à /3,

^ ' — ' -- arc tang -= h

{^^x-'-r dxdp-'\^ «^[3

r dx __ ( — 1 )" d'-' / i X \

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